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a p avrà, per somma delle sue lunghezze, <r p = — — ; onde <r p 0 per 



Li " 



p — > oo . Alla successione degli archi di C e a quella dei vertici dei poli- 

 goni n, ambedue relative a p, corrisponderà una successione <y ( 1 p) ,<?2 P) d ( r p) 



di segmenti non sovrapponentisi di (a , b) (alcuni dei quali — quelli che 

 corrispondono ai vertici dei n — possono ridursi a punti) ricoprenti i2 t e 

 formanti complessivamente un insieme misurabile di punti, che indicheremo 

 con Ej. p) . Sia E t l'insieme dei punti comuni a tutti questi E[ p) . E £ è mi- 

 surabile e contiene S2 t ; ed è o„ >. V I s' ( l) di J> s'(t)dt. Essendo 



ff p — > 0, è s'(t) dt = 0. Dunque su E ( , e quindi anche su S2 t , è quasi 



dappertutto s'(t) = 0 . 



3. Ciò premesso, sia t un punto di {a , b) non appartenente all'in- 

 sieme Sì t -\-\, dove I è l'insieme di misura nulla sul quale una almeno 

 delle derivate x'(l) , y'(t) ,z'(t), s'{t) non esiste finita. Sia poi t 1 un altro 

 punto qualsiasi di (a ,b) . Detti P e P, i punti corrispondenti di G , è 



j x{t,) — x(t) }' J + ) y(h) — y(t)\* + ì s{U) — s(t) \ 2 = PP^ . Dividendo (se 

 non è PPx === 0) tutto per (fa — t) 2 e moltiplicando e dividendo il secondo 

 membro per \s(t x ) — s(t)\ 2 , si ha al limite, per t x — > t, tenendo conto 

 di (3), ]x'(t)\ 2 -\-)y'{t)\ 2 -\~\z'{l)\ 2 = )s'(t)\ 2 , uguaglianza valida per 

 ogni t esterno a Sì t -\-\. Se poi / appartiene a Sì t , pur essendo sempre 

 esterno a I, si ha \%'{t) j" -j- ) y'(l)\* -j- -)«'(/) f { s'(t) e qui vale an- 

 cora quasi dappertutto il segno di uguaglianza, perchè, quasi dappertutto, 

 su Sì t è s'(t) = 0. Concludendo: Se la curva continua C è rettificabile, 

 vale a dire se le x(t) , y(t) , s(t) sono funzioni continue, a variazione li- 



—2 —2 —2 — 2 



mitata, vale quasi dappertutto la dx -f- dy -f- dz = ds . 



4. L' uguaglianza precedente, tenendo conto della disuguaglianza 



fùi ; 



S 2 — Si > I s (/) flJ/ , 

 • ' ti 



valida anch'essa in ogni caso, dà 



■ 



S{t) > ) \ x '(t) + y'(t) + z'{t) dt. 



E poiché nella disuguaglianza ricordata vale il segno di uguaglianza 

 se, e solamente se, la s(t) è assolutamente continua, altrettanto si dirà per 

 la validità di (1). Ricordato, allora, che la condizione necessaria e suffi- 

 ciente affinchè la s(t) sia assolutamente continua è che sian tali le x(t) , 

 y(t),z(t), si ritrova, per la validità della (1), esser necessario e sufficiente 

 che le x(t) , y(t) , z(t) siano assolutamente continue. 



