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5. Ritornando al caso generale, del quale si sa solo che le x(t) , y(t) ,z(t) 

 sono continue e a variazione limitata, indichiamo con E l'insieme (neces- 

 sariamente di misura nulla) nel quale una almeno delle derivate x' , y' , s' 

 non esiste finita. Rinchiudiamo, nel senso stretto (fatta, al più, eccezione 

 per a e b), i punti di E in una successione di intervalli, non sovrapponen- 

 tisi, Ò x , ói , ... ; ó r , .... ( ; ), e definiamo in (a , b) la funzione X(£) nel se- 

 guente modo: fuori degli intervalli ó, e nelle loro estremità, poniamo 

 IL(t) = x(t) e in ciascun ó facciamo variare la X(£) linearmente. La X(^) 

 risulta così continua e a variazione limitata [con una variazione totale non 

 superiore a quella di x(t)~\ ed ha in ogni punto la derivata destra finita, 

 la quale, fuori dei ó r , coincide con x'(t) ( 2 ). In modo analogo si definiscano 

 le funzioni Y(t),Z(l). Queste X,Y,Z, avendo le derivate destre sempre 

 finite ed essendo a variazione limitata, sono anche assolutamente continue, 

 e per la curva C, che esse definiscono, vale dunque la (1). Si ha pertanto, 

 indicando con r il complementare dell' insieme formato dai punti di tutti 

 i à r , e con S(b) la lunghezza della C, 



S (b) =j r j/j X'(0 j? + j Y'(t) p + ! Z'(0 1 2 dt + 



Ma in F è X' == x' , Y' = yf , Z f = e su c? r = (« r , /? r ) le X , Y , Z 

 Tariano linearmente; si ha, perciò, 



S(*) = £ j/^("s) + y\t) + *T<) ^ + 



+ Z l/l - * (O P + ! y(/*r) ~ |' + { ~ *(«r) P ■ 



r 



Al tendere di 2d r a zero è 



j r V^+y' 2J r^ di 



ed è anche S(b) — > s(b) , perchè, da una parte, è sempre S(b)<^s(b), 

 e, dall'altra, essendo C la curva limite della C , il minimo limite di S (b) 

 non può essere inferiore a s(b). Esiste dunque il limite anche per /•(/... .f, 



r 



(') Dunque ogni punto di E, fatta eccezione al più per a e b, è interno ad un in- 

 tervallo <f, oppure è l'estremo comune di due ó' contigui. 



( 2 ) Cfr. il n. 5 della mia Nota Successioni di curve e derivazione per serie. Nota II 

 (questi Rendiconti, gennaio 1916). 



C)/x n -\-y n + z n dt 



J a 



