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e questo limite, che indicheremo con l (b), , è indipendente dal modo nel 

 quale sono stati scelti i d r (purché rinchiudano sempre, nel senso stretto, 

 l'insieme E) ed anche da quello nel quale si fa tendere a zero 2ó r ; e si 

 ha, poiché a b si può sostituire un t qualunque di [a , b) , 



s(t) = f V^) + 7(r> + 7(/) dt + l(t), 



• 'a * 



dove l(t) (che può chiamarsi la lunghezza della parie di C relativa al- 

 l'insieme E() è il limite della somma delle corde di C corrispondenti ad 

 una successione qualsiasi d'intervalli di (a,b) che ricoprono, nel senso 

 stretto, l'insieme E £ dei punti di (a , t) ove uia almeno delle x\y',z 

 non esiste finita ; ed il limite è ottenuto facendo tendere a zero, in modo 

 del tutto arbitrario, la somma degli intervalli considerati. 



6. Se la curva continua e rettificabile C è definita dall'equazione 

 y = f(x), considerata per tutti gli x di (a,b), la formula precedente 

 diventa 



s(x) = fYl + 



e I (x) risulta anche uguale alla variazione totale della f'(x) nell'insieme E^ 

 dei punti di (a,%) nei quali la f'(x) non esiste finita: vale a dire, al li- 

 mite di 2\f((3 r ) — f(a r )\, per 2(/i r — a r ) — >.Q , dove gli (a r , fi r ) co- 

 stituiscono una successione d'intervalli non sovrapponenti, " ricoprenti, nel 

 senso stretto, l'insieme E^ ( 1 ). 



Consideriamo, come esempio, la curva continua definita dalla seguente 

 funzione: detto E il noto insieme di Cantor, formato coi punti dell'inter- 

 vallo (0,1) di ascissa x ==Tr-t-7^ -|— — | — jr ••■ , dove i numeratori a non 



à 6 ó ó 



possono prendere che i valori 0 e 2, poniamo 



fax a* , l/oi r * , J. 

 /^ 3 -r 3 2-r j 2\2^2 2 ~2 3 



poniamo, poi, che la f(sc) resti costante negli intervalli contigui a E. L'in- 

 sieme E è perfetto e di misura nulla, e la funzione f (x) (che è quella 

 di cui si è servito il Cantor per dimostrare che E ha la potenza del con- 

 tinuo, e della quale è facile dare una espressione analitica completa) è con- 

 tinua, non decrescente, ed assume negli estremi di (0,1) i valori 0 e 1 ; 

 inoltre, essendo costante in ogni intervallo contiguo ad E, essa ha quasi 



( l ) Basta, infatti, osservare che è 



I f(Pr) ~ fl«r) | < \'(Pr-«r)* + \Wr) ~ tM* < {?r - «r) + I f(fir) ~ A«r) I • 



