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Se si considera che, nel primo e più semplice caso n — 2, il problema 

 consiste nel ridurre il ds z di una superficie a curvatura costante alla nota 

 forma 



ds* — cos 2 0 du 2 -f- sen 2 0 t/y 2 , 



ossia nel problema di rivestire una tale superfìcie con reti di Tchebychef 

 (ved. le mie Lezioni, voi. II, § 379), possiamo riguardare le attuali ricerche 

 come l'estensione agli spazi a un numero qualunque di dimensioni dell'anzi- 

 detta teoria, che include la teoria delle ordinarie superfìcie pseudosferiche 

 e delle loro trasformazioni. 



Dopo ciò, è ben naturale domandarsi se esistono trasformazioni analoghe 

 pel caso generale dei sistemi di Guichard-Darboux negli spazi di curvatura 

 costante. Risponderemo affermativamente alla domanda costruendo per lo 

 spazio pseudosferico (a curvatura costante negativa) una prima trasforma- 

 zione dei sistemi ortogonali di Guichard-Darboux, che è l'analoga della 

 trasformazione complementare, alla quale in effetto si riduce nel caso n — 2 . 



2. Lo spazio S„ di curvatura riemanniana costante K sia riferito ad 

 un sistema n pl ° ortogonale ( ), ed abbiasi, pel corrispondente ds 2 , 



ds 2 = y W x du{ = Eìduì + W t du\ -] f- H 2 du 2 n . 



x 



m 



Il sistema differenziale caratteristico a cui debbono soddisfare le funzioni 

 Hi , H 2 , ... H n di e le relative rotazioni si scrive (ved. la 



mia Nota precedente, in questi Rendiconti, seduta 6 febbraio in 16): 



0 ('■) . 



Vogliamo esaminare se esistono di tali sistemi n pli ortogonali per i 

 quali sia soddisfatta la relazione quadratica 



(1) YH^ = H 2 + H 2 H |-H 2 =cost. 



x 



(') Si rammenta che le segnature come 



(<) (ì,fc) 



~z . 2: 



X l 



stanno ad indicare che nella corrispondente somma l'indice variabile ì. deve percorrere 

 tutti i valori 1,2.3,...'», eccettualo il valore i nel primo caso, o i valori t , k nel 

 secondo, ecc. 



(A) 



~ÒUi 



y 



= Pil Pili 



Òtti 



