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3. Il nostro problema consiste ora nell'esaminare se le (B) ammettono 

 soluzioni, ed in quale arbitrarietà. 



Per questo immaginiamo di risolvere le (B) delle due ultime linee 

 rispetto a quelle delle due derivate il cui indice della variabile di deriva- 

 zione è minore; così il sistema avrà la forma lineare canonica considerata 

 dal Bourlet nella sua Memoria fondamentale Per ciascuna delle funzioni 

 incognite H, , essendo date in (B) tutte le relative derivate, ogni variabile 

 è principale ; invece, per ciascuna fa si ha una ed una sola variabile para- 

 metrica, cioè la Ui o la uu secondo che i^> k ovvero i<Ck, e le altre 

 n — 1 variabili sono principali. 



Proveremo che il sistema (B) è completamente integrabile, dimostrando 

 che dall'eguagliare le due espressioni di ogni derivata seconda (mista) prin- 

 cipale si ottengono relazioni identiche in virtù delle (B) stesse (Bourlet, 

 loc. cit.). 



La verifica è immediata per due equazioni scelte nella prima o seconda 

 linea del quadro (B), e basterà quindi confrontare le equazioni della se- 

 conda linea con quelle della terza e della quarta. Resta dunque da provare 

 che, se si derivano rapporto ad U; (l=$=i,h) le equazioni nelle due ultime 

 linee, si ottengono relazioni identiche per le (B) stesse, ossia che si annul- 

 lano le due espressioni seguenti: 



( Sì = ^- (fi tl fa) + £ (fa fa) + T ^- /?>.*) + K ~- (E t H») 



] OU; ùUk ~ dm mi 



[ T7 (fa fa) + ~- (fa fa) + £ .^7 (fa fi 



ùUk Otti — ÒUl 



(i,'e) 



Ora se nei secondi membri nella somma V mettiamo da sè il termine cor- 



>. 



rispondente a 1 = 1, e, ponendo mente alle (B), raccogliamo i termini, si 

 trova 



a^pJ^+ì&+ y fa fa + k nm ; + 



' OH; OUi )_ ' 



' OUk otti — ; 



Ma, in virtù delle (B), le espressioni che moltiplicano nella prima fin. fin, 

 e nella seconda fi ìt i,fiu, sono nulle, e per c\ò Sì = Sì' = Q , c. d. d. 



(') Veci. Bourlet, Sur leu sysLPmes d'équations aux dérivées parlielles (Annales de 

 l'École Normale Supérieure, tome Vili, 3 ème sèrie, Suppl.). 



