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Le (B) formano dunque un sistema completamente integrabile, e la 

 sua soluzione generale (Hi . /?,•*) dipende da n(n — 1) funzioni arbitrarie, 

 potendosi prescrivere ad arbitrio, per ciascuna delle ftiu, la funzione della 

 variabile parametrica a cui si riduce la quando le n — 1 variabili 

 principali prendono valori iniziali prefissati. Concludiamo adunque: 



Nello spazio S„ a curvatura riemanniana costante K esistono infi- 

 niti sistemi ortogonali di Guichard-Darboux, e dipendono da n(n — 1) 

 funzioni arbitrarie {di una variabile ciascuna). 



4. I teoremi generali sopra invocati ci assicurano dell'esistenza dei 

 sistemi di Guichard-Darboux, ma nulla ci apprendono sull'integrazione effet- 

 tiva del sistema (B) da cui la ricerca dipende. Ora vogliamo dimostrare 

 che anche in questa teoria, come accade in tante altre di geometria infini- 

 tesimale, si possono costruire dei metodi d'integrazione successiva che per- 

 mettono, nota una soluzione iniziale delle (B), di dedurne infinite nuove 

 integrando equazioni differenziali ordinarie, od anche, in certe circostanze, 

 con sole quadrature. 



Noi supporremo ora lo spazio S„ pseudosferico, cioè a curvatura costante 

 negativa, e costruiremo, pei sistemi di Guichard-Darboux, in questo spazio, 

 una classe di trasformazioni che si diranno complementari, perchè corri- 

 spondono esattamente alla trasformazione complementare delle ordinarie su- 

 perfìcie pseudosferiche (cfr. n. 1). 



Partiamo da una soluzione nota (Hi , delle (B), per la quale si abbia 



(3) H? + HI + • • • + H* = a 2 (a costante). 



e dimostriamo che ne esistono infinite altre (precisamente oo n_1 ) (H- , $ ft ) 

 legate alla primitiva dalle relazioni 



(4) ft^fa + cKiK 



(3') h; 2 + w;- n h h,; = tè , 



dove c è una costante, legata alla a ed alla curvatura K dalla relazione 



(5) K = — e* a 1 . 



Se scriviamo intanto che le H' , §' ih debbono soddisfare alle (B) della 

 prima linea, e teniamo conto delle (4) e (3'), troviamo per le H[ il sistema 

 ai differenziali totali 



0^ + ^h;) h; 



-f faK'i + cEiR'f-ca 2 Hi, 

 x 



(G) 



^HJ 



1>Uì 



