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a cui dobbiamo aggregare, coinè equazione in termini finiti, l'altra 



(C) y H - = «'. 



X 



Le equazioni (C) , (C r ) formano, per le funzioni incognite H-, un sistema 

 misto ai differenziali totali, di cui cominciamo a riscontrare la illimitata 

 integrabilità. 



5. La (C), derivata rapporto ad una qualunque iti, dà un'equazione 

 identica per le (C), e dobbiamo solo esaminare le condizioni d'integrabilità 

 delle (C), cioè le due equazioni 



0 

 0. 



ura si na 



® = ~ (/?« k) - ~ {§u hd + c~ (H ft h; K)-c~- (h, h; e[) , 



ùUi dilli òUi dUx 



ed eseguendo, colle (C) e colle (B), si riscontra che, in effetto, 0 = 0. 

 In secondo luogo troviamo 



e ' = ± (A, Hi) + £ (A, hj, + c X (H, h; h;) + 



+ ^ (A i H,)-^(H i Hr) + ^^, 



— ÙUj; ÒU/t 



ed eseguendo, colle (C) e (B), risulta, dopo alcune riduzioni, 



& = — H; E k E' ìt (K -{- c 2 a 2 )\ 



questa espressione è nulla per la supposta relazione (5). Concludiamo: II 

 sistema misto ai differenziali totali (C), (C) per le funzioni incognite H, 

 è completamente integrabile, e la sua soluzione generale dipende quindi 

 da re'— 1 costanti arbitrarie 



Scegliamo allora una qualunque di queste soluzioni (H-) e calcoliamo 

 le (ì r ik dalle formule (4). Se dimostriamo che queste funzioni (H^ , sod- 

 disfano nuovamente alle (B), ne risulterà definito un nuovo sistema di 

 Guichard-Darboux, che diremo complementare del primitivo. La forma sim- 

 metrica della (4) proverà, poi, che la relazione fra due sistemi complemen- 

 tari è reciproca. 



& 

 & 



l>Ui \ ~ì)Uk f 



l)Ui \ ~ÒUiiJ ~òu k \ ~òu h J 



!>u h \ 



I 1 ) Per queste si possono prendere i valori iniziali delle H/ legati dalla (C). 



