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queste, col sussidio delle (B) , (C) e riducendo, diventano 



Hi E k (c 2 J H{ ! — K — 2c 2 a 2 ) = 0 , 

 'x 



e per la (5) e per la (C) sono pure identicamente soddisfatte. 



Concludiamo adunque: Ogni sistema ortogonale di Guichard- Barbo ux y 

 nello spazio psetidosferico S„ a n dimensioni,, ammette co" -1 sistemi com- 

 plementari, la cui ricerca dipende dall'integrazione del sistema misto- 

 (C) , (C) ai differenziali totali. 



7. Esaminando più da vicino il problema di integrazione di questo 

 sistema (C) , (C), da cui dipende, come si è visto, la ricerca dei sistemi 

 complementari, possiamo dimostrare che esso equivale alla ricerca delle 

 linee geodetiche dello spazio: risultato, questo, che, nel caso più semplice 

 n = 2, era ben noto. 



Per dimostrare l'asserto, supponiamo dapprima di conoscere un sistema 

 H' di soluzioni delle (C) e delle (C), e partiamo dall'osservazione, d'imme- 

 diata verifica, che l'espressione 



Y E x H x du x 



x 



è in tal caso un differenziale esatto. Con una quadratura possiamo dunque- 

 determinare una funzione <X> delle ui che soddisfi alle equazioni 



(6) ~ = -cE i E' i <P (ir=l,2,...n), 



olii 



e, per ciò, anche all'altra, che risulta dalle (3'). (5), 



essendo Jì<t> il parametro differenziale primo. Ma di più dimostriamo che- 

 questa funzione <I> soddisfa anche alle equazioni del secon-do ordine di Wein- 

 garten (ved. Lezioni, voi. I, § 185) 



ì 2 (p 



~òUi ~òU]i 



per tutte le coppie (i , k). Nel caso nostro, avendosi 



au === E 2 ai k = 0 per i =^ k , 

 le equazioni di Weingarten si scrivono 



(8) 



W _y\Ìktl><I> 



KH-f 



