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e si verifica facilmente che sono conseguenze delle (6), tenendo conto che- 

 (se i , k ,1 denotano indici diversi) i simboli di Christoifel hanno qui i 

 valori 



i i ' ti \ ~ h/ w • ( k)~ n/ Hi • ii a PiX ' 



La funzione <P, calcolata con una quadratura dalle (6). soddisfa dunque 

 alle equazioni (8) di Weingarten e inoltre alla (7). Per quanto è dimostrato 

 nelle Lesioni (loc. cit.), risulta: Le ipersuperficie <1> = cosi nello spazio 

 pseudosferico sono orisfere concentriche, ossia le loro traiettorie ortogo- 

 nali sono geodetiche concorrenti in un punto all'infinito (parallele nel 

 senso non-euclideo). 



Ora inversamente, se nello spazio pseudosferico S„ è noto un sistema, 

 ortogonale di Guichard-Darboux, definito da 



ds 2 = ìli dui + Hi dui -\ h H « dui - 



con 



H? + Hf + • • • + HI = a* , 



ed è nota una soluzione Q> delle equazioni (8) di Weingarten e della (7jv 

 le forinole 



1 ì) log (D 



h:= 



Clìi l)Ui 



danno un sistema di soluzioni delle (C) , (C) e definiscono per ciò (intrin- 

 secamente) un sistema di Guichard-Darboux complementare del primitivo. 



Quando le geodetiche dello spazio S„ sono note, si hanno subito io 

 termini finiti tutte le oo"- 1 soluzioni <i> delle (7), (8), e, per ciò, anche tutti 

 i sistemi complementari del sistema dato risultano intrinsecamente definiti. 



Se prendiamo il caso dello spazio pseudosferico a 3 dimensioni, è facile 

 vedere ulteriormente che (supposte note le linee geodetiche) i sistemi com- 

 plementari di un dato sistema ortogonale di Guichard-Darboux si trovano 

 in termini finiti con quadrature, e lo stesso vale naturalmente se si applica 

 di nuovo la trasformazione complementare ai sistemi derivati, e cosi via. 



8. Se consideriamo in particolare i sistemi di Guichard-Darboux nello, 

 spazio S„ euclideo, dovremo fare K = 0 ; e le equazioni (B), per le § ìk , di- 

 ventano 



— - = p,i Pi k 



Itili 



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