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Questo sistema, completamente integrabile, ammette soluzioni # ft dipendenti 

 da n{n — 1) funzioni arbitrarie (n. 3), ed ogni soluzione (/?,•») dà ìe rota- 

 zioni comuni ad infiniti sistemi n pli ortogonali paralleli. 



Fra questi sistemi, oltre la classe già caratterizzata dalla relazione 



H? + HI + • • • -f H* = cost , 



ve ne ha una più ampia in cui questa relazione è sostituita dall'altra 



(1) Hf + HH hHI = «? ! + i. 



dove a . b sono costanti arbitrarie, e o* è il quadrato della distanza di un 

 punto generico [u x , w 2 , ... u n ) da un punto fisso nello spazio (origine). 



Per trovare i sistemi corrispondenti alla (I), si ricordi che. indicando 

 con W, , Wo , ... W„ le distanze (algebriche) dell'origine dalle facce deUV dro 

 principale, sussistono le relazioni 



ì3 = H,-W, , ^ = : i ik W k (/+*)•• 



ÒUi dU, : 



Derivando la (I), si ottengono quindi le nuove equazioni 



-■sicché pei sistemi n pli ortogonali corrispondenti alla (I) dovranno sussistere 

 le equazioni 



Queste formano, per la (9), un sistema comprimente integrabile, ed ogni 

 sua soluzione (H^Wj) fornisce un sistema n?}° ortogonale dell' S>, euclideo 

 pel quale sussiste la (I). 



9. Osserviamo, ora, che i sistemi ortogonali di Gi-uichard-Darboux nello 

 spazio a curvatura costante possono trasportarsi, colle note rappresentazioni 

 conformi, nell' S„ euclideo, e si ottengono allora sistemi ortogonali in questo 

 spazio, che vengono a soddisfare relazioni analoghe alla (I). 



Prendiamo dapprima il caso dello spazio pseudosferico e, posto pel- 

 semplicità K = — 1. facciamone la nota rappresentazione nel semispazio 

 euclideo {Lesioni, voi. I. § 187), dove il ds* avrà la forma 



s = dx\ + dx\-\ \-<lxl 



