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le Xi , Xi , ... x n essendo nello spazio euclideo coordinate cartesiane ortogo- 

 nali. Un sistema n pl ° ortogonale di Guichard-Darboux nello spazio curvo con 



H? + H|+--- + H« =«««, 

 darà nello spazio euclideo un corrispondente sistema con 



dx\ + dx\ -\- • • • + dxl = xi{m dui + H| dui -\ \- El dui) ; 



e se poniamo 



hi — '■ Xf% Hi > ho — oc n Ho <, ... hfi — ~ H M , 



avremo quindi 



(II) A? + Af+--- + /4 = ^4, 



relazione che è analoga alla (I). Viceversa, ogni sistema n pl ° ortogonale 

 nello spazio euclideo, che soddisfi alla (II), sarà l'immagine di un sistema 

 di Guichard-Darboui dello spazio curvo. Le trasformazioni complementari 

 di questi sistemi, che sopra abbiamo ottenuto, acquistano così un signifi- 

 cato anche nello spazio euclideo, come trasformazioni dei sistemi ortogonali 

 soddisfacenti alla (II). 



Similmente, se per K qualunque prendiamo il ds* sotto la forma di 

 Kiemann 



fai _ dx * + d3C * + ' ' ■ + dx l 



dai sistemi di Guichard-Darboux dedurremo, per rappresentazione conforme, 

 sistemi n pH ortogonali dello spazio euclideo ove la (II) sarà sostituita dal- 

 l'altra 



(II*) Af + /4+... + ^ = ^Jl+|(a1 + ^+-- + ^)( 2 . 



10. Un altro modo di arrivare ai sistemi ortogonali dello spazio S„ 

 euclideo che soddisfano alla equazione (II), anzi ad una più generale, si 

 ottiene partendo dalle osservazioni seguenti, che vengono suggerite dalla 

 forma del sistema (B) : 



Se poniamo 



§ ih — filli ì 



vediamo dalle (B) che IV $» soddisfano alle equazioni caratteristiche pel- 

 le rotazioni di un sistema n pl ° ortogonale nell'S„ euclideo 



1+1 +T^-° 



