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Le equazioni della prima linea in (B), che scriviamo 



rr— = Pik^h , — —■ — > pu&i, 

 7>u k ItUi — 



sono quelle che caratterizzano i coseni (Zi , Z 2 , ... Z„) degli angoli che una 

 direzione fìssa nello spazio forma cogli spigoli dell' n edro principali, mentre 

 le equazioni della penultima linea in (B) si scrivono 



m + M»! + f ^ ^ _j_ K Z . Zft fa o . 



x 



Ora, se prendiamo uno qualunque degli infiniti sistemi n pli ortogonali 

 paralleli, colle rotazioni fa che soddisfano alle (11), ed è 



ds 2 == V H? du 



la corrispondente forma del ds 2 , le H; debbono essere assoggettate dapprima 

 alle sole condizioni 



^ = ^-H ft (*=M). 



òUii 



e in ogni caso l'espressione 



dz = ^_ H>. Zx 



è il differenziale esatto di una funzione s che rappresenta la distanza di 

 un punto generico {u x , u? , ... u n ) da un iperpiano fisso normale alla dire 

 zione (Zj , Z 2 , ... Z n ). Dimostriamo che: si possono ulteriormente /issare 

 le H,- in guisa da soddisfare alla relazione 



(III) H? + HH [-H* +K£ 2 = cost. 



E infatti, derivando questa rapporto ad Ui, otteniamo 



fa E K — KzZt, 



sicchè, riunendo le equazioni ottenute in tutte le incognite 



z , Zf'; H, , fa , 



