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Questo, comunque si prendono le costanti K,K', è sempre, nelle funzioni 

 incognite (H; , H' , pi k ), un sistema completamente integrabile, come risulta 

 dai calcoli stessi eseguiti al n. 3 per il sistema (B). 



Ad ogni soluzione (H, , H- , delle (13) corrisponde una coppia di 

 sistemi ortogonali, l' uno nello spazio S n . l'altro nello spazio S^ , definito 

 rispettivamente da 



<h- = J H* du\ > d ^ = X H )' a du l 



e le rotazioni sono comuni ai due sistemi, però con inversione degli indici. 

 Se in queste formole generali poniamo 



K' — k , h: = h £ ; 



onde segue 



Pik = fiki . 



le (13) si riducono al sistema completamente integrai) ile 



~òu k 



= Pia Hft 



^ = (#* = fai) 



olii 



"^ + KH,H k = 0. 



I sistemi n pU ortogonali corrispondenti dello spazio S„ a curvatura co- 

 stante K sono gli analoghi di quei sistemi (E) dell'ordinario spazio S 3 

 euclideo, a cui Darboux ha dedicato i cap. Vili et IX (livre III) delle 



sue Lecons. 



Siccome /S ;7 . = , indi 



si può porre 



H?=^ (* = 1,2, ...«), 



essendo & una funzione di u ì , u 2 , ... u„ . Così il ds* dello spazio prende la 

 forma caratteristica per questi sistemi (E) 



ds> = ^ dui + — dllt+ + — dul • 



Ancor più in particolare, se si fa K = 0, si hanno i sistemi (E) nell'S* 

 euclideo, ai quali si estendono subito i metodi di trasformazione del caso- 

 ordinario n = S (Darboux, loc. cit.). 



