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Essa è sufficiente. Infatti, quando è soddisfatta, si può costruire una 

 funzione p(f) per la quale si abbia 



1 C m 



lim — I p (t) e Xn lt dt = a n e" 1 ^ (n = 1 , 2 . ... 



lim ~- \p(i)\*dt = y a n \ 2 e- n »P ( J ) . 



o»=oo 2M J_ W «~> 



Si avrà allora 



lim — |p(0 — a (a, l)^ dt= 5 \a n \Ìe-^ — e~ K<s ) 



La serie che comparisce nel secondo membro di questa relazione con- 

 verge uniformemente rispetto a e, perchè il suo termine generale non su- 

 pera | a n | 2 e~ '^ n P- essa rappresenta una funzione continua di e che si an- 

 nulla per a = fi . Dunque 



\ 1 f" ) 



■ lim lim — \ \p{() — «(o\ Ol 2 dt [ — 0 : 



cioè l'insieme delle funzioni a(<x,t), al tendere di a a /2.-J- o , converge 

 in media verso la funzione p(£). 



2. Il teorema del prof. Pincherle, richiamato nella Nota I, è facilmente 

 estendibile, come l' A. osserva, al caso di una funzione analitica, regolare 

 entro un'area semplicemente connessa, limitata da una linea analitica, quando 

 si sa che la parte reale e la parte immaginaria di g> (x) tendono in media a 

 funzioni di punti del contorno, sommabili insieme coi loro quadrati, allorché 

 la variabile tende al contorno in dipendenza alla variazione di un opportuno 

 parametro. 



Un'estensione analoga si può fare per il teorema da me dimostrato sulle 

 serie di Dirichlet; ciò è in relazione col fatto che alla (5) della Nota I si 

 può dare una forma più generale. 



00. 



a„ e" * nS sia una serie di Dirichlet della classe considerata nella 



Nota I, convergente nel semipiauo s 0 sia un punto di tale semi- 



piano; g(t) ed u>{t) siano due funzioni continue di una variabile reale t, 

 definite per tutti i valori di % tra — oc e 4" 00 » dotate di derivate continue, 



(') Pia Nalli, Sopra una nuova specie di convergenza in media (Rendiconti del 

 Circolo matematico di Palermo, tomo XXXVIII, 2° semestre 1914, pp. 305-319); Aggiunta 

 alla Memoria: « Sopra una nuova specie di convergenza in media » (Rendiconti del 

 Circolo matematico di Palermo, tomo XXXVIII, 2° semestre 1914, pp. 320-323). 



