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non entrambe nulle, salvo eventualmente in una infinità numerabile di punti 

 non avente punti-limiti a distanza finita. Si abbia ancora 



g{—t) = o(t) ; 



w (t) =0 secondochè è t ^ , e 



lim | w (t) I = oo . 



|t| =co 



Finalmente, denotando con rj un conveniente numero positivo, si abbia 



(5) ffo-^o" + 



qualunque sia il valore di %. 



Definita Gr(s) come nella Nota I, si avrà 



j ^o(x)-\-i(o{x) 



(6) fM " JS [-(*)— (-«Jltó,^-* dS ' 



dove l'integrazione è estesa all'arco della curva formata dai punti 

 <t (r) -\- i co (t) che va dal punto <r( — x)-\-iu>( — x) al punto o(x)-\-ìoì{x). 



Infatti, essendo il prodotto f(s) G(s — s 0 ) funzione regolare della va- 

 riabile complessa s nella striscia limitata dalle rette <r=p-\-r), g = <t 0 — rj, 

 si avrà 



, r'a{x)-{-ia{x) r*(o(x) 



— f(s) G(s — So) ds = f {a{x) + it) G(<f{x) — s» + it) dt . 

 1 <U<t{— x)-\-ia>( — x) U<ti[—X) 



Ma, data l'assoluta convergenza delle due serie 



00 oo 



T a n e- k » ( -"W , y «*£K*ì — *o + it) 



n=l n — i 



che rappresentano rispettivamente /(<r(:r) -j- z7) e G(<r(x) — s 0 -\-it), si 

 può scrivere 



00 



+ ft) G( <x(#) — s 0 + *0-— •Z«»^ *rW*H"W e ^< e )- s ° + lt \ 



i 



Il modulo del termine generale della serie doppia, che comparisce in 

 questa relazione, non supera \a n \e~~ *» ff C^) ^wK^J — ; quindi la serie con- 

 verge uniformemente, rispetto a /, nell'intervallo (w( — x),cù(x)\. Si avrà 

 dunque 



L»N 00 

 f (ct(ìb) + #) G {a{x) — So + «V) = \ja{x) — «(— a;)] y a w e~ + 



ra(x) ; ,À 



)a>(—à>\ 



