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Le costanti k r possono essere numeri complessi; ma, volendo che uw 

 si conservino reali, si dimostra facilmente che le (2) sono della forma 



u = (A,, el z -f A 12 e~~i z ) cos a + (A 21 e\ z -f- k %ì e~l z ) sen a 

 ic = (C n e-i z +C 12 5-r 2 )coso--f-(C 21 eT z -j-G 2l e~l z ) sen a 



essendo le A rs G rs costanti reali. 



Indichiamo con C,S il coseno e il seno iperbolico dell'argomento yz 

 (C = }{e rz -f- e~ rz ) , S — j (e Xz — e~ Xz )} : gli integrali si possono alloia scri- 

 vere sotto la forma 



,o\ ^ u = {a C -J— b S) cos rr -\- (e C -j- # S) sen a 



( w = ( a 'C + b'S) cos o- -|- (cV + rf'S) sen , 



a , b , e , d , a , b' , c' , d' designando nuove costanti (ovvie combinazioni 

 delle A^ , G r3 ) . 



Ricordiamo che per z — 0 è C = 1 S - = 0 , e che, per tutti i valori 

 di z, C = yS , S' = yC dove con G' S' si intendono le derivate rispetto a z. 

 Dalle (3) si ricava 



(4) J ì u = {y 2 — a 2 )u J 2 w = (y t — a 2 ) w 



(5) ^ = - £U W=- £W 



(6) 0 = l(ac + y£') C + {ad + ya') S] cos a + 



+ [( yd' — aa) C + (ye' — ab) S] sen a . 



Sostituendo queste espressioni nelle equazioni generali per u e w , e 

 considerando che queste debbono essere soddisfatte per tutti i valori di x, 

 t e z, dovremo annullare prima separatamente i coefficienti di coso" e sena 

 e poi in ciascuno di essi i coefficienti di C e S. 



Indichiamo con A B 0 D i coefficienti di 0 e S nell'espressione (6) di 0, 

 nell'ordine in cui essi vi figurano, e con II l'espressione fi(y 2 — a 2 )-\-e 2 Q. 

 Allora le condizioni indicate per la verifica delle equazioni si possono scrivere 



(A + ^)«G + J7a = 0 i (A + a)yB-f ZZV = 0 



(Jt + j»)«D + nb= 0 J (A-|-^)yA + /7// = 0 



— (A + fx) «A + Uè = 0 ) (X + iu)yD-\- Ile' = 0 



— (A + ^)«B + /7rf = 0 [ (A + ^)yC + nd' = 0 



