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Risulta di qui confermato che il punto (x' r ) descrive un nuovo sistema n^ l ° 

 ortogonale, e pei valori dei nuovi coefficienti H' si ha 



H , = jp ì log 

 Yi tUi 



onde le (7) si scrivono sotto la forma equivalente 



(n -^• + y / ?x ìA = (H ! ; + H;.)^. 



àUi ^ 



Confrontando questa con la (2) e costruendo la relativa condizione di inte- 

 grabilità 



è (A> n) + <* ri> + ± | n = £ ! (H, + H» * ! , 



coll'aver riguardo alle altre equazioni già scritte, troviamo 



Riepilogando, le trasformazioni di Ribaucour vengono così a dipendere 

 dalla ricerca della 2n-\-2 funzioni ausiliarie 



Yi , H- , <p , ip , 

 assoggettate a soddisfare al sistema differenziale 



— — - = yi , — = 



l)Ui l)Ui (p 



f = | ftl - ( H, + H;,^; HI., 



e inoltre alla equazione in termini finiti 



(1*) \ y l = 2<pxp. 



x 



■ 



Questa è la forma cercata delle equazioni di trasformazione, che, nel caso 

 n = 2, dànno quella già considerata da Eisenhart. 



4. È da osservare che, costruendo le condizioni d' integrabilità per il 

 sistema (I), mediante le (A), si ottengono equazioni che rientrano nella (I). 

 Il sistema (I) è adunque completamente integrabile; e poiché, come subito 

 si verifica, esso ammette l'integrale quadratico 



y_ y{ — 2(pxp — cost , 

 x 



