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basta scegliere i valori iniziali delle yi , 9 , xp , in guisa da annullare la 

 costante del secondo membro, ed anche la (1*) resterà soddisfatta. Si osservi 

 ancora che, nel sistema (I), per le yi > <P > V> tutte le variabili sono princi- 

 pali, mentre per la la variabile Ui è parametrica e tutte le altre principali. 

 Così, scelto un sistema di valori iniziali per le m\ diciamo (0 , 0 , ... 0), 

 per definire una soluzione (y t - ,9,1/', H-) si potranno dare ad arbitrio, com- 

 patibilmente colla (1*), i valori iniziali delle y t , y> , xp quando tutte le 

 variabili si annullano, e per la H; si prescriverà ad arbitrio la funzione 

 della Ui a cui essa si riduce quando si annullino le rimanenti variabili. 



Ogni tale soluzione (yi , y> ,xp , H,) individua un nuovo sistema (2'), le 

 cui rotazioni §' ik sono date, per le (9), dalle formole 



(10) ^ = /?, /£ -(H ft + H; £ )^. 



È manifesto geometricamente che la relazione fra (2) , (2') è invertibile, e 

 può quindi domandarsi quali valori competono nel passaggio inverso, da 

 (2') a (2), alle nuove funzioni trasformatrici y { , y> , tp , che indicheremo con 



e saranno, come è chiaro, determinate solo a meno di un fattore costante. 

 Ora basta scrivete le equazioni stesse (1) per questo passaggio per trovare 

 le formole richieste, che si scrivono 



(11) y' = Wì , (p' = — [i<p , ip'==± — fiip, 



il moltiplicatore fx essendo determinato (a meno di un fattore costante) con 

 una quadratura dalle formolo 



m*\ piogn __ h, + h; 



~òu t <p ' 



5. Cominciamo dall'applicare queste formole generali a quei sistemi 

 ortogonali che, seguendo la denominazione del Darboux, abbiamo nella Nota 

 precedente indicati come sistemi (E). Essi sono caratterizzati dalla pro- 

 prietà che (scegliendo convenientemente i parametri ut) ha luogo l'egua- 

 glianza 



(12) §a — /Sfti , 



od anche dalla equivalente che ds 2 riveste la forma 



ds 2 = dal -f- du\-\- • ••-]- du 2 n . 



Ora noi domandiamo: Un sistema (E) possiede, fra i suoi trasformati 

 di Ribaucour, dei sistemi (E') della medesima specie? 



