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avendo posto 



Si - fi p ki — \- s H p ilt — - + 2_ «>. ~ — a x 



e dimostriamo separatamente che si ha 



a) Sì' — O , b) i2'' = 0. 

 a) In forza delle equazioni stesse del sistema e dell'altra 



si ha 



fi' = sì §' ki jS' ik H • — /5,' s Y s x /Six H x + X fc > ^ ' 



.X-, <;•••. X 



ed il secondo membro è identicamente nullo. 



b) Sostituendo per le p' ih i valori (10), si ha 



n „ afilli , D&fc L-rj , TT'\ Yk) ~ì> (/TT I TT'\ X» ) I 



£ = «< — h £ i — (Hi + Hi) — [ — s H —— j Hft + H„) — / + 



+ - (Hx + H x ) ^ | • | ftx - (H, + HO ^ | . 



Se si eseguiscono le derivazioni, utilizzando le forinole precedenti, si 

 trova, dopo semplici riduzioni, 



SP \ X X / 



onde, per l'annullarsi di Sì", si richiede e basta che la somma V s\ H,' 2 



~x~ 



abbia lo stesso valore costante c come la y e% H| . Concludiamo che il 



x 



nostro sistema (misto) ai differenziali totali è completamente integrabile, 

 ed il suo integrale generale contiene 2n — 1 costanti, onde il risultato: 



Ogni sistema di Guichard Darhoux neirS n euclideo ammette oo 2 " -1 

 sistemi della medesima specie derivati per trasformazione di Ribaucour. 



Nel caso attuale il sistema ai differenziali totali da cui dipende la 

 ricerca dei sistemi trasformati non ha più la forma così semplice (lineare) 

 come nel caso dei sistemi (E). Per altro il processo d'integrazione succes- 

 siva potrebbe semplificarsi facendo uso di un teorema di permutabilità che 

 non è difficile a stabilire. 



Osserverò, da ultimo, che anche pei sistemi di Guichard-Darbonx negli 

 spnzii a curvatura costante esistono le trasformazioni di Ribacour. 



