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diverse. Una di queste implica il concetto di coppia, l'altra ne è indipen- 

 dente. Affinchè non possa nascere il dubbio cbe il procedimento cbe ora 

 seguo per definire le coppie, terne, . . . , contenga un circolo vizioso, ri- 

 porto, alquanto modificata, la definizione di operatore del tutto indipendente 

 dal concetto di coppia. 



1. Per V eguaglianza, o identità, indicata dal simbolo =, intendiamo 

 valga la definizione di Leibniz: x = y. solamente quando, qualsiasi proprietà 

 di ce è altresì proprietà di y ; ovvero con i simboli idrografici di G. Peano, 



[1] x = y : = : a e Cls • x e a • O a ■ y s a . 



Ricordiamo, sebbene possa parere superfluo, che dalla [1] derivano le 

 proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, 



(a) x = x , x = y • 0 • y = x , x = y ■ y = z 'D ■ x = z , 



del simbolo di relazione = , ma che da queste non deriva la [1] (come 

 lo provano, ad es., le relazioni è parallela a, è simile a) e quindi che 

 le (a) non possono esser chiamate proprietà caratteristiche della egua- 

 glianza o identità. 



Ricordiamo ancora che, una volta ammessa la [1] per stabilire il si- 

 gnificato della relazione x = y , non è più lecito ( 4 ), per gii elementi di 

 una classe speciale u, assumere ad arbitrio il significato di x = y, si deve 

 invece definire la classe u in modo che dalla [1] risulti lo speciale signi- 

 ficato di x = y per x e y elementi di u ( 5 ). 



2. In ciò che segue dobbiamo spesso considerare delle classi u, cia- 

 scuna delle quali contiene effettivamente più di un elemento, cioè ne con- 



( 4 ) C. Burali-Forti, Sur Végalité et sur Vintroduction des éléments dérivés dans 

 la scienoe. Enseignément mathematique, 1899., 



( 6 ) La comune definizione per astrazione (cfr. Formulario matematico), dovuta in 

 sostanza ad Euclide, presenta tre notevoli difetti logici : 



a) per la classe u che si intende introdurre, occorre definire il significato della 

 relazione x — y , per x , y elementi di u ; 



b) la predetta condizione x=^y, fissata ad libitum, non individua una sola 

 classe u ; ne esistono infinite, per le quali x = y ha il significato stabilito; 



c) anche ammessa la possibilità di poter scegliere, tra le infinite classi u [e, si 

 intende, senza l'intervento di nuovi elementi che definiscano nominalmente u; cfr. (')"], 

 una speciale, gli clementi di questa restano individuati iti infiniti modi. 



Nella mia Nota: Gli enti astratti definiti come enti relativi ad un campo di no- 

 zioni (questi Rendiconti, voi. XXI, ser. 5 a , 2° seni. 1912, pp. 677-6S2), ho tolti i difetti 

 a), b), ma ho pure dimostrato che, anche con la nuova via, è impossibile di togliere il di- 

 fetto c). È quindi conveniente di abbandonare del tutto le definizioni per astrazione, sotto 

 qualsiasi forma, visto che è possibile — e senza ricorrere alle difettose definizioni per 

 classi — di far uso delle definizioni mediante operatori. (Cfr. T. Boggio, Bollettino di bi- 

 bliografia e sfuria delle scienze matematiche, fase. IV, 1915). 



