— 409 — 



Per gli operatori a destra varranno le notazioni 



(u , v) Op , u Op , * Op ; 



ma in generale parleremo di operatori a sinistra, intendendo che per quelli 

 a destra siano ripetute le medesime cose. 



La classe Op* è una parte propria della classe S; sia perchè le classi 

 u , v considerate non sono del tutto arbitrarie ( 9 ), sia perchè nella [4] è 

 stabilito (il che nou è stato fatto per S) che, se f è un Op(w,y) e ce è 

 un allora fx è uno, ed un solo, elemento della classe v che, natural- 

 mente, dipende da x e da una legge che può ritenersi espressa, almeno 

 formalmente, dal simbolo f che non varia col variare di x in u. In altri 

 termini, la [4] stabilisce, sotto certe condizioni per u,v, che Op(u,v) è 

 ciò che comunemente chiamasi corrispondenza univoca tra gli u e i v , il 

 che non è detto per la. classe generale S. 



5. Per chiarire meglio il significato di Op(«,y), e anche per avere 

 una base per future discussioni, gioverà indicare le proprietà fondamentali 

 degli operatori. 



[7] u s Cls' ■fsOpux,ysux = y-0-fx== fy : 



«■ un operatore per gli u , applicato ad elementi eguali di u , dà elementi 

 pure eguali », il che conferma l'univocità della corrispondenza tra gli u 

 e i v. 



Infatti : essendo fx = fx (proprietà riflessiva dell' =), è certo che x 

 è uno degli elementi z di u tali che fx = fs ; ma se x = y, allora per 

 la [1] anche y è uno dei tali elementi : e quindi fx = fy (cfr. Formulario). 



[8] u , v s Cls' - yOw-O-OpwOOpy: 



« un operatore per la classe u è anche operatore per una classe v conte- 

 nuta in u , si intende purché u,v siano delle Cls' », il che è evidente per 

 la [4]. 



[9] / ' , gs Op * • 0 .\ /' = g • = : xs Elem • D x ■ fx = gx : 



« due operatori (a sinistra) sono identici solamente quando, applicati ad uno 

 stesso elemento, qualunque esso sia, dànno lo stesso resultato » ( 1# ), cioè: 

 se fx appartiene ad una classe v , anche gx vi appartiene, ed è lo stesso v 



( 9 ) Ad es., Op(w,») non corrisponde esattamente al viu del Formulario di Peano, 

 perchè in viu le classi u,v sono qualunque. Però quando u è una Cls' e v una classe 

 non nulla, ogni 0\ì(u,v) è pure un viu. 



(."O Cfr. («) pag. 144, IIP 3. 



