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indicato da fx ; e se fx è privo di significato (ha la proprietà di non aver 

 significato), anche gx è privo di significato ( n ). 

 Interessa dimostrare in modo completo la [9]. 



L'ipotesi f, g sono Op* è sempre sottintesa, ma si considera sempre 

 presente. 



a) Sia f=g. 



Essendo fx=-- fx , è certo che f è uno degli operatori h tali che 

 fx = hg; ma essendo f=g, anche g (cfr. [1]) è uno degli operatori Ti 

 ora considerati, cioè fx = gx. 



Dunque : f = g • .0 : xs Elem • D x ■ fx = g x . 



b) Supponiamo ; x e Elem -d x - fx = gx. 



Ogni possibile proprietà di /' è della forma (cfr. le [4], [6]) 



f £ Op(w , V) , 



ove u è una Cls' e v è una classe non nulla; ma, per l'ipotesi b), la stessa 

 proprietà (cfr. la [4]) appartiene anche a g : vale a dire, per la definizione 

 di = , si ha che f=g. 



Dunque : x s Elem ■ O x ■ f x = g x : 0 : / == g . 



Da a) e b) si deduce la [9] ( 1J ). 



Crediamo inutile riportare altre proprietà degli operatori ( 13 ). Vogliamo 

 solo ripetere per qnal ragione nella [4] si è supposto che u sia una Cls' 

 in luogo di una Cls qualunque. Se f è un Op (u , v) e x è un u, allora, 

 nella notazione fx , che indica uu », x è certamente un S che, scritto a 

 destra di f, produce il v considerato. Se, allora, nella [4]. u fosse una classe 

 qualunque, risulterebbe che x è un « operatore a destra tra gli eguali 

 ad f e ai v », proprietà che, in generale, l'ente x di u non ha; si cadrebbe 

 cioè in un assurdo. Invece, con la limitazione posta per u nella [4], x non 



( u ) Supposto che l'essere fx privo di significato possa urtare una qualche su- 

 scettibilità logica, allora basta dare alla [9] la forma seguente: 



[9^ fi g e Op * . Q .-. f= g . = : * e Elem . fx , g x e Elem - . fx = gx . 



Il prof. S. Catania mi comunica che in un suo lavoro di prossima pubblicazione 

 dà alla condizione di eguaglianza la forma seguente : 



f , g e Op • 3 : : f — g . = :.ge Cls'. Q„ : f e Op u . = . u « Op u .'. 



u s Cls' . f, g e Opu . x e u -Ou,x ■ f-v = g$ • 



Questa più ampia forma delle [9] , [9'] è più chiara, o almeno più comprensibile, perchè 

 indica esplicitamente dei particolari che nelle [9] . [9']] sono conseguenze della ipotesi 

 generale « f, g sono operatori a sinistra «. 



( ,2 ) La stessa dimostrazione si applica alla [9'] e alla forma del prof. Catania in- 

 dicata nella nota precedente. 



(»*■) Per l'uso pratico degli operatori cfr. C. Burali-Forti e R. Marcolongo, Ano- 

 lyse véctorielle générale, voi. I e II, Mattei, Pavia. 



