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può essere « operatore a destra tra gli eguali ad f e ai v » , perchè gli 

 « eguali ad / " formano una classe contenente un solo elemento, 1' f, e in 

 tal caso F Op non è stato definito. Questa opportuna limitazione della 

 classe u in Op u è dovuta al prof. S. Catania (cfr. ( 3 ), Grandezze e nu- 

 meri). 



6. Visto come gli operatori si possano definire indipendentemente dalle 

 coppie, occupiamoci della definizione di queste, il che forma l'oggetto prin- 

 cipale di questa Nota. 



Se a , b sono elementi qualunque per la « coppia della quale a è il 

 primo e b il secondo elemento », adotteremo la notazione, senza parentesi, 

 del Formulario, 



a ;b , 



ma nulla impedisce che si adotti la notazione usuale (a, b) . 

 [10] a , be Elem Oa;b = 



= »[Op* o fa { f a = i a • f b = ib : x e Elem-(t a o i b) • 0^ • f x — i a u ib {] : 



« essendo a , b elementi qualunque, definiamo la coppia a ; b come quell'ope- 

 ratore a sinistra che, applicato ad a, dà la classe degli eguali ad a, appli- 

 cato a b dà la classe degli eguali a b, ed applicato ad un elemento di- 

 verso da a e da b dà la classe che ha per elementi a e b soltanto » . 



Dati gli elementi a , b , la coppia a ; b è un operatore univocamente de- 

 terminato per la classe Elem 



[11] a , be Elem • 0 • a;b s Op Elem , 



poiché la [10] individua la classe (a;b)x per x scelto ad arbitrio nella 

 classe Elem . 



L'ordinaria condizione di eguaglianza di due coppie, 

 [12] a , b , a' , b' e Elem • 0 .-. a ; b = a! ; b' : = : a = a' • b = b\ 



risulta dalle [1] [10] come ora dimostriamo. 



In virtù delle [9] [10] , la condizione a; b = a' ;b' equivale alla 

 condizione 



(1) (a ; b) x = (a' ; b') x , qualunque sia l'elemento x . 



a) Supponiamo a = a' e b — b'. 



La (1) è verificata per.a; = a = «', per x — b = b' e per x diverso 

 da a e da b, e quia li anche da a' e da b' ; cioè è verificata per x elemento 

 arbitrario. 



Dunque : a = a' • b = V ■ 0 • a; b = a' ;b' . 



b) Supponiamo a;b = a';b'. 



