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6' e d'\ h' ed h'\ si otterrebbe nuovamente la differenza dei due archi coseni 

 da cui essa venne dedotta differenziando; ma se si trascura sen 2 A, integrando, 

 si ha un'espressione che in taluni casi diviene semplicissima, cioè 



2 



(4) 0" — B' — - [V 1 — sen 2 q> — sen 2 S' -f- 2 sen w sen ó sen h" — 



v 2 sen g> sen o L 



— y 1 — sen 2 <p — sen 2 ò -\-2 sen <p sen ó sen li ] . 



Qualora fosse 1 — sen 2 q> — sen 2 ò = 0, ossia 3 — n/2 — <p (ciò che è 

 possibile entro i circoli polari), la (4) si ridurrebbe a 



sen 2y |/ sen 2<p 



esseudo, nell'ultima formula, fi" lo spessore dell'orlo verde. 



Lo stesso risultato potrebbe essere ottenuto dalle (1) osservando che, 

 per h = 0, la (2) dà dtì/dli = oo : ossia il sole si muove orizzontalmente, 

 e quindi trovasi sul meridiano; e 6 sarà per tutta la durata del raggio verde 

 nullo o piccolissimo. Sarà dunque con molta approssimazione 



2 sen h , , . , 4 sen h n A / sen h . 



costi' = — — 1 , cosV=l — - , sen 0 =2 \ — > 



sen 2tp sen 2<p \ sen2</> 



quindi 



, = 2 -i/ZEl , m 2 2 JZKL , e _ >. afrtfirtgi . 



f/ seu29> [/ sen2y f/sen2y 



[Invece la formula differenziale (2), prendendo per h il valore medio fra 0 

 e dh darebbe do = j/2 «M/f/sen2<p, essendo d/j lo spessore dell'orlo verde]. 



Così per g> = 70° (p. es. presso Hammerfest), qualora durante un raggio 

 verde fosse ó = 20°, sarebbe 



21/15^2000 00 =430() „ 

 fsen 40° 



e la durata del raggio verde sarebbe di circa 286 secondi ; ed allo Spitzberg, 

 per <p = 79° e ó = l\, essa durata sarebbe di circa 400 secondi. Queste 

 durate si raddoppierebbero qualora (caso eccezionale) non comparisse sopra 

 l'orizzonte che l'orlo verde, dimodoché i due raggi verdi prodotti dal sorgere 

 e dal tramontare del sole si susseguissero senza interruzione. Esse però ver- 

 rebbero un po' modificate per effetto della variazione della declinazione. 



Finalmente, ai poli il sole sorge o tramonta non per effetto della rota- 

 zione terrestre ma per il crescere o decrescere della declinazione, e la durata 

 del raggio verde sarà il tempo necessario perchè la declinazione del punto 

 considerato varii di 15", e sarà circa di un quarto d'ora. 



