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da cui si ricava, come condizione del minimo cercato, 



, 1-f-senAsenA -t 1/(1 -f- sen A' sen A ) 2 — sen A -f- sen A V 



sen d = — !— — — —rr-t ttt^- — ! - sen a 



sen A -f" sen A 



1 4- sen A' sen A" ri- cos A' cos A" 

 sen A -f- sen A 



e si hanno le due soluzioni 



1 + cos (A' — A") cos • (h" — A')/2 



sen o , = — ' , , 777- sen g> = 0 sen tp 



sen A + »en A" y sen ■ (f+ A )/2 ' 



(5) \ 



1 — cos(A" + A') sen • (A" + h')/2 



sen d 2 = 77— 777- ?en (p = ; sen y . 



sen A-}- sen A cos -(A — A )/2 



Il primo di questi valori, almeno nel caso che si considera, non è possibile, 

 poiché, essendo A' ed A" piccoli, potrebbe aversi sentf^l. 



Il secondo è quello valido che, per h" == 0, ed A' = — A diviene 



(6) sen di = — sen </> tang A/2 , 



la solita formula da cui si ottiene il valore di d che corrisponde alla minima 

 durata del crepuscolo, astronomico se h = 18°, civile se ft = 6°,5. 



Siccome le formule (1) sono simmetriche rispetto a ó e <p che possono 

 essere scambiate (per quanto ciò è possibile, visto che ó non può superare 

 23° 27'), il calcolo precedente rimane valido se si scambia tp con ó, e la 

 formula (6) diviene 



sen (fi = — sen ó tang A/2 



che darebbe la latitudine alla quale, per una data declinazione del centro 

 del sole, la durata del crepuscolo è minima: ciò che risulta anche perchè, 

 calcolando la durata d'un crepuscolo colle formule (1), il chiamare ó ciò 

 che era g> e viceversa non cambia in niente il valore finale, purché né tp 

 né à oltrepassino 23° 27'. 



Il calcolo precedente non può valere per luoghi molto vicini al polo 

 dove, come ho accennato, la variazione di A prodotta dalla rotazione ter- 

 restre è così piccola che, in proporzione, diviene sensibile o anche prepon- 

 derante la variazione dello stesso h causata da quella della declinazione 

 solare. In questi casi, nei valori di do'/dó e d6"/dó (che devono essere 

 uguali nel caso di un massimo o un minimo di 6" — 6'), bisognerebbe 

 porre rispettivamente i valori d' e- 6" della declinazione, corrispondenti in 

 tempi t' e t'\ tenendo conto della relazione fra t e à. Lo sviluppo del de- 

 terminante suddetto non è suscettibile di semplificazioni, e non ho potuto 

 ricavarne alcuna relazione semplice che determini le condizioni nelle quali 

 la durata è massima. 



