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Si sa che appartengono alla classe (a) le superficie a curvatura costante, 

 positiva o negativa, e le loro superficie parallele; ma la classe stessa (a) 

 è molto più ampia, precisamente come la classe delle generali superficie 

 isoterme confrontata con quella delle superficie a curvatura media costante. 



Come naturale estensione troveremo nello spazio euclideo S M+1 una 

 classe di ipersuperfìcie V„ a linee di curvatura coordinate ( x ), nella cui 

 espressione del ds 2 , riferito alle linee di curvatura (u t , w 2 , ... u n ), 



ds* = Hf dui + Hi dui H h K%du* , 



sussiste fra i coefficienti H\ la relazione analoga alla (a) 



(a') f.Hf-t-^HiH |-e M H« = c08t 



(«, = ±1), 



dove ciascuna « è 1' unità, positiva o negativa. 



Fra queste ipersuperficie se ne ha poi una classe, che diremo speciale^ 

 caratterizzata da ciò : che la stessa relazione (a') ha luogo anche per l' im- 

 magine sferica delle linee di curvatura. Queste ipersuperficie V n speciali 

 tengono nell' S n+1 il posto delle superfìcie a curvatura costante e delle loro 

 parallele del caso n = 2, e ne costituiscono la generalizzazione negli iper- 

 spazii (*). 



Per le nostre ipersuperficie V n generali esistono trasformazioni di Ri- 

 baucour (per inviluppi di ipersfere) che ■ corrispondono esattamente alle 

 trasformazioni D m di Darboux delle superficie isoterme del caso n = 2, e 

 ulteriormente, per la classe speciale, alle trasformazioni delle superficie a 

 curvatura costante, che si deducono dalla inversione dei teoremi di Guichard 

 sulle deformate delle quadriche di rotazione. 



2. Trattiamo dapprima il caso ra==2, e riferiamoci alle forinole di 

 rappresentazione sferica, adottando la notazione dei doppi indici, per migliora 

 confronto colle forinole del caso generale. 



Abbiasi una superficie 2, riferita alle sue linee di curvatura (u x , u 2 ),. 



e sia 



(1) ds" = klduì+ h\ dui 



il quadrato dell'elemento lineare sferico, mentre con 



(2) ds* = E\du\ + W t d£ 



(') Cfr. le mie Lezioni, voi. I, pag. 481. 



( a ) È noto che, per n^>2, non esistono nell' S n -i-, ipersuperficie V» a curvatura rie- 

 manniana costante, salvo le ipersfere. Era quindi naturale di avere la generalizzazione 

 delle superficie a curvatura costante in altro senso, e quello indicato nel testo sembra 

 il più opportuno. 



