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e, come unica condizione d' integrabilità. 



La ricerca delle superfìcie della classe (7) dipende quindi, in primo 

 luogo, da quella dei sistemi sferici ortogonali (u x , w 2 ) per i quali si verifi- 

 cano le equazioni 



(9) 



fi h ^* R h 



Applicando i noti teoremi generali, si vede che questo sistema ammette 

 infinite soluzioni, dipendenti da quattro funzioni arbitrarie (cfr. n. 7). 



Scelta una qualunque di queste soluzioni (hi , h t , , /? 2 i), il sistema 

 ai differenziali totali (8) per H! , H 4 è completamente integrabile. Esso 

 possiede inoltre l'integrale quadratico (7), sicché possono scegliersi ad arbitrio 

 i valori iniziali di Hi,H t , per un sistema iniziale di valori di Ui,u t . 



In particolare, quando sia * = — 1, si potrà dare ad arbitrio alla co- 

 stante del secondo membro nella (7) un valore positivo, negativo o nullo, 

 nel quale ultimo caso la superficie sarà isoterma. Dunque: le superficie 

 della classe H* — H] = cost hanno a comune l'immagine sferica delle 

 linee di curvatura colle superficie isoterme. 



4. Precisiamo meglio il risultato ora ottenuto con una costruzione geo- 

 metrica effettiva. 



Essendo qui e = — 1, indi 



possiamo porre, indicando con 6 una conveniente funzione di u x , u t , 



et ^ r 



Pl2 = — , Piì = — • 



1 7)ttj 



Sostituendo nel sistema lineare .omogeneo ai differenziali totali (8), si 

 vede che due soluzioni particolari sono 



H, = e* , Hj = e" 

 Hi = * -e , H t 



