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e, per la (6), le corrispondenti superficie, che diremo S , S , sono date dalle 

 forinole 



S) x = | {e h J. ì du i + e 9 X 2 ^j) 



S) a* =J"(<r 9 X l du x - «-'Ij du t ), ecc., 



che definiscono manifestamente una coppia di superficie isoterme trasc- 

 inate di Christoffel. Ma la soluzione generale delle (8) si compone linear- 

 mente colle due particolari, eosì: 



H, = ae a + be~ d , H 2 = ae* — be~ % 

 (a . b costanti) , 



e per le coordinate del punto mobile sulla corrispondente superficie 2 



avremo quindi 



ì = ax-\- bx* , rj = ay -\-by* , f = as + bs* , 



nelle quali formole potremo intendere anche che sia a-\- b = 1, sostituendo 

 ad S , S due superficie omotetiche. Dopo ciò, possiamo formulare la costru- 

 zione cercata: 



Per avere la più generale superficie 2 con H' — Hf = cost , pren- 

 dasi una coppia di superficie isoterme S , S trasformate di Christoffel 

 l'una dell'altra, e si dividano tutti i segmenti PP, che riuniscono le 

 coppie di punti corrispondenti P,P, secondo un rapporto costante; il 

 punto M di divisione descrive la superficie domandata. 



Notevole è il caso particolare che S , S siano due superficie parallele 

 a curvatura media costante; allora la superficie 2 è una qualunque delle 

 parallele, fra le quali la media è a curvatura costante positiva (Bonnet). 



Un altro caso da osservarsi è quello in cui S è una qualunque super- 

 ficie ad area minima, indi SS la sfera di Gauss della rappresentazione. 



5. Facciamo ora nella (7), s = -\~l, indi 



ds* — a 2 (cos 2 « du\ -f- sen 2 w du\) (a cost), 



e ponendo 



u x = a -\- fi , M 2 = a — fi , 



avremo 



ds* = a 2 {dcc* -f 2 cos 2 &) da dfi + df) . 



Le linee (a , fi) tracciano sulla superficie una rete di Tchebychef (ved. Le- 

 sioni, voi. II, pag. 401), di cui le bisettrici sono le linee di curvatura. 

 La proprietà è manifestamente invertibile, e possiamo dire: 



