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Le superficie con Hf -f- Hf = cost sono caratterizzate geometrica- 

 mente dall'avere, per linee di curvatura, le bisettrici di una rete di 

 Tchebychef. 



Nel caso attuale, con s — -4-1, possiamo porre 



~~ÒUi ~ÒU>, 



e la soluzione generale delle (8) è 



H, = a cos 6 -f- b sen 6 , H 2 = — a sen 6 -f- b cos 6 , 



che si compone linearmente colle due (immaginarie coniugate) 



j H, = e* , H 2 = ze i9 



| E, = e~ iò , H 3 = — t e" 19 . 



A queste ultime corrispondono sempre due superficie isoterme della classe, 

 però questa volta immaginarie, con immagine sferica reale. La costruzione 

 formulata al n. 4 rimane ancora valida ; solo si osserverà, che per avere 

 una superficie 2 reale, occorre prendere quel rapporto costante complesso, 

 e di modulo = 1. 



Anche qui le superficie pseudosferiche e le loro parallele formano una 

 classe speciale, nella quale le due superficie isoterme coniugate sono paral- 

 lele ed hanno per superficie media quella pseudosferica. 



In generale, nella classe H? riz H| = cost le superficie a curvatura co- 

 stante e le loro parallele sono contraddistinte da ciò : che la medesima rela- 

 zione h\zìi h\ = cost ha luogo per l' immagine sferica. 



6. Generalizziamo ora queste ricerche agli iperspazii, e consideriamo 

 nell' Snn-! euclideo un' ipersuperficie V n a linee di curvatura (u x , u t , ... u„) 

 coordinate e siano rispettivamente 



(10) ds t '=H t l dul'+H\du\-\ f- E\du\ 



(10') ds* = h\ duì + hi dui -\ P% i&» 



i quadrati degli elementi lineari della V n e della sua immagine ipersferica. 



Alle forinole (3) per la rappresentazione sferica vengono ora a sosti- 

 tuirsi le seguenti generali : 



ih _ R h 



(i) { ^7 = /? " A * (*=M=H) 



