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In riguardo dunque alla rappresentazione ipersferica delle ipersuperficie 

 cercata, dovrà sussistere il sistema 



_ f> 7, ÌÉH — et o 



= PHi - ~T — Pil pik 



~ÒU H l)Ui 



Coi soliti procedimenti [cfr. Nota (B)], si riconosce che questo è un 

 sistema completamente integrabile, e la sua soluzione generale (fa , di- 

 pende da n(n — 1) -j- n = n 2 funzioni arbitrarie. 



Scelta una soluzione qualunque (hi . § ik ) delle (II), il corrispondente 

 sistema di equazioni ai differenziali totali nelle H,, 



(t\*\ Ì)H< * TT ^> H > V a TT 



ÒUit ÒUi — 



è a sua volta completamente integrabile, e possiede l' integrale quadratico 

 (13). Esistono dunque le ipersuperficie cercate e dipendono da n 2 funzioni 

 arbitrarie. 



Vediamo, poi, che esiste ulteriormente la classe speciale in cui la stessa 

 relazione (13) è soddisfatta nella rappresentazione ipersferica 



/?! -f- £ t h\ -f- • • • -j- e n h% = cosi 



Poiché, invero, se associamo al sistema (11) le equazioni che ne seguono 

 derivando, 



~òh- (l) 

 e» — J = — y «x Ax h\ ,. 

 ÌUi — 



il nuovo sistema è ancora completamente integrabile. 



Le ipersuperficie V„ della classe speciale dipendono, così, soltanto da 

 n(n — 1) funzioni arbitrarie, e sono geometricamente caratterizzate da questo 

 che: l'immagine delle loro linee di curvatura costituisce nell'ipers fera un 

 sistema n pl ° ortogonale di Guichard-Darboux. 



8. Passiamo alle trasformazioni di Ribaucour per le ipersuperficie V„ a 

 linee di curvatura coordinate, dapprima in generale. Basterà scrivere le for- 

 molo relative che si ottengono da quelle della Nota (B), applicando queste 

 ultime al sistema (n -f- l) pl ° ortogonale individuato nell' S M+ i dalla V n e 

 dalle sue parallele. 



