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Ogni ipersuperficie V n della classe (13), 



2>x H x = c, 

 x 



possiede oo 2n ipersuperficie trasformate di Ribaucour e della medesima 



classe y « x H x 2 = c . 

 x 



Per questo basta procedere come nella Nota (B), ed aggiungere alle 

 equazioni generali (III) di trasformazione le seguenti: 



I*vH-= c . ^ = -f*x#xH x , 



le quali ultime provengono dalla prima per derivazione. Si forma così un 

 sistema misto ai differenziali totali che è completamente integrabile, onde 

 la sua soluzione generale contiene 2n -f- 1 costanti arbitrarie. Ma una di 

 queste, come costante moltiplicativa in y,- . w , (f> , ip , non ha [secondo la (14)] 

 influenza sull' ipersuperficie trasformata, e restano pertanto le 2n costanti 

 dell'enunciato del teorema. 



11 risultato ottenuto vale anche, naturalmente, per le ipersuperficie V„ 

 della classe speciale 



* i M + £ 2 h\ + ' " • ~h £ n h s n = a costante). 



Ma in questo caso possiamo vedere ulteriormente che: fra le oo tn ipersu- 

 perfìcie trasformate V n ne esistono oo 2n_1 appartenenti alla medesima 

 classe speciale 



«i hi -f- « 2 fi* H h e n K = a . 



E infatti, da 



2_ ex h' x * = J_ e x h{ , 

 x x 



ossia 



1 *x(A' x - A x ) + fa) = 0 , 

 x 



segue, per la (16), 



(17) <p f f X Ax(H x + H x ) - v exH x H x + c) = 0 



che è una nuova equazione in termini finiti da aggregarsi al sistema. Ora, 

 se si indica con Sì il primo membro della (17), si trova identicamente 



■^ = -^(h ì -h;.).ì?, 



