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3. — Costruzione di un integrale completo omogeneo di grado j. 

 In coordinate poìari r,w (eolatitudine), cp (longitudine), la (7) si scrive 

 ,n'\ r\ll>W\* . 1 /7>W\* . 1 /W\f) 



( ?) m^j +^in^(^) h cost - 



Essa ammette, come si riconosce immediatamente, integrali particolari indi- 

 pendenti da cp , della forma 



W = fr f(w) . 

 Infatti, sostituendo in (7'). risulta, 



cui si soddisfa prendendo per es. 



f—2 j/E sin y w i 



con £ costante positiva arbitraria. Il primo membro della (7 f ) si riduce in 

 conformità a \ E, . 



Si è così trovato un integrale 



(9) W = 2 y'fr sin | uo , 



che dipende materialmente da una sola costante, ma che si può agevolmente 

 interpretare come dotato di maggiore generalità. Basta riflettere che (nes- 

 suna supposizione essendo stata fatta circa l'orientazione degli assi) è lecito 

 considerare come arbitraria la direzione dell'asse polare Ox 3 , cioè della se- 

 miretta a partire dalla quale è contata la eolatitudine w . In questa acce- 

 zione, ove si ritorni a coordinate cartesiane generiche, e si designino con 

 Xi i \ , X 5 i coseni direttori della semiretta suaccennata, sarà 



X, x x -\- \ t Xì -{- X 3 x 3 

 cos w = ! ■ , 



r 



e W conterrà, oltre a t, , anche i coseni X , ossia complessivamente tre co- 

 stanti indipendenti. Per rendercene conto in modo preciso, immaginiamo il 

 vettore di lunghezza £ e di coseni direttori X, , X 2 , X 3 , ed esprimiamo W 

 per mezzo delle componenti 



r Ci = l\ («'==1,2,3) 



