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Matematica. — Nuovi contributi alla teoria dei sistemi con- 

 tinui di curve appartenenti ad una superfìcie algebrica. Nota I del 

 Corrispondente Francesco Severi. 



In questa Nota ed in una successiva mi propongo di rispondere ad alcune 

 questioni fondamentali per la teoria dei sistemi continui di curve sopra una 

 superficie algebrica F. 



Un teorema classico di Noether, al quale Enriques diede fin dal 1896 

 la più ampia significazione, afferma che sulla F è unico il sistema completo 

 cui appartiene come curva « totale » una data curva C . Val quanto dire : 

 assegnati su C alcuni punti, che debbano essere base pel costruendo sistema, 

 con molteplicità virtuali non superiori alle effettive, il sistema lineare |C|, 

 con quei punti base virtuali, resta perfettamente individuato. 



Quanto ai sistemi continui completi, non lineari, sono stati addotti, da 

 Rosenblatt e da Albanese ('), esempì di curve contenute in distinti sistemi 



(') Intorno ad alcuni concetti e teoremi fondamentali sui sistemi algebrici di curve 

 d'una superficie algebrica (Annali di Matematica, 1915). In questa Memoria, che è uno 

 studio critico accurato intorno alle mie ricerche sulla « hase », il dott. Albanese osserva 

 giustamente che la relazione di equivalenza algebrica, da me considerata, fra curve di 

 una superficie, si riferisce a curve appartenenti ad un sistema, il quale sia irriducibile 

 come totalità de' suoi sistemi lineari. Con quest'avvertenza (che è bene sia stata posta 

 in luce esplicitamente, dal momento che — secondo aveva già notato il Rosenblatt (Bul- 

 letin de l'Acad. des Scienc. de Cracovie, juillet 1912, pag. 780) — esistono sistemi i 

 quali sono irriducibili come totalità di sistemi lineari, ma riducibili come totalità di 

 curve), i miei risultati e le relative dimostrazioni permangono immutati. Io stesso, del 

 resto, avevo segnalato, in un caso eccezionale, la necessità di allargare un po' il concetto 

 di equivalenza algebrica, per mantener uniforme il linguaggio (ved. la mia prima Me- 

 moria sulla base, nei Math. Annalen, Bd. 62, 1906, pag. 206). E avevo chiamato « alge- 

 bricamente equivalenti » due curve che o giacessero in un medesimo sistema irriducibile 

 o fossero resti di un tal sistema rispetto ad una medesima curva. Il dott. Albanese, in 

 sostanza, ha mostrato come questa definizione più ampia basti anche negli altri casi di 

 eccezione, che io non avevo considerati. Avvertirò inoltre che, per stabilire la proposizione 

 «se due curve A , B di P soddisfanno alle relazioni £AB[] = £AA] = [BET] , esiste su F 

 un integrale semplice di 8* specie, colle sole curve logaritmiche A,B», non occorre, 

 come crede l'Albanese, invocare il suo teorema XII, ma basta che le AA , AB stieno cia- 

 scuna in un sistema irriducibile oo» con una medesima curva C di P . Si costruisce allora 

 subito l'integrale cercato, sommando due integrali che abbiano rispettivamente le sole 

 curve logaritmiche AA , C e AB,C, coi relativi periodi polari A, — 1 e — A , -J-l (ved. 

 un'osservazione analoga a pag. 208 della mia ricordata Memoria). Nel suo lavoro l'Alba- 

 nese giunge pure ad un risultato anche nella sostanza nuovo, che mi piace di segnalare: 

 che cioè il teor#ma concernente l'esistenza della base, vale anche quando si definiscano 

 algebricamente equivalenti due curve che giacciano in uno stesso sistema irriducibile di 

 curve. E rispetto a questa equivalenza più-ristretta non si altera neppure il numero-base g. 



Rendiconti. 1916, Voi. XXV, !• Sem. 60 



