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continui completi (ciascuno irriducibile come totalità di curve), e la cosa è 

 stata interpretata nel senso che non fosse possibile estendere il teorema di 

 Noether ai sistemi irriducibili completi non lineari ('). 



Ma una tale conclusione dipende dall'aver dato a quel teorema una 

 significazione troppo ristretta, insufficiente per la stessa validità di molte 

 proposizioni classiche. Alla medesima stregua il teorema si troverebbe in 

 difetto pur per i sistemi lineari e nei casi più semplici. 



Conviene tuttavia riconoscere che tra i sistemi lineari ed i sistemi con- 

 tinui vi è una differenza, che può trarre facilmente in inganno, di fronte 

 alla possibilità di estendere il teorema di Noether. Questa diversità è legata 

 alla circostanza che, contrariamente a quel che accade pei sistemi lineari, 

 la curva generica d'un sistema continuo può avere punti multipli variabili. 



Ma in fondo la divergenza cui s'allude è soltanto apparente, perchè in 

 ogni caso, sia che si tratti di sistemi lineari, sia che si tratti di sistemi 

 completi non lineari, allora soltanto si può parlare di curva « totale » del 

 sistema, quando della curva stessa sia ben definita la connessione riemanniana. 



Qualche esempio gioverà subito a chiarire il modo come deve essere 

 posta la questione. 



È noto che la totalità delle quartiche piane con 3 punti doppi si spezza 

 in due sistemi irriducibili oc 11 , ben distinti: l'uno, 2 1 , costituito dalle 

 quartiche razionali, e l'altro, S 2 , costituito dalle quartiche spezzate ciascuna 

 in una cubica e in una retta. Il sistema ^ è perfettamente definito da una 

 sua quartica irriducibile coi 3 nodi variabili, e 2 2 da una curva spezzala 

 in una cubica ed in una retta, coi 3 nodi pure variabili. 



Se ora si considera una curva C 0 , la quale sia composta da una cubica 

 piana col punto doppio 0 e da una retta generica, segante la cubica nei 

 punti Aj-, A ( ,.A 3 , una tal curva C 0 appartiene sia a 2 U sia a 2 2 ; ma 

 come curva totale di .2, , essa è definita dall'assegnare per nodi variabili 

 0 , A, , A 2 — od 0 , Aj , A 3 o anche 0 , A, , A 3 — e dal considerare come 

 virtualmente inesistente l'altro dei 4 nodi; mentre come curva totale di 2, 

 essa è definita dall'assegnare per nodi variabili Àj , A 2 , A 3 e dal conside- 

 rare come virtualmente inesistente 0. E non è questa una convenzione arbi- 

 traria per aggiustar le cose a volontà; ma è invece un modo di dire assai 

 opportuno per significare il fatto sostanziale che una curva di 2, , la quale 

 si approssimi indefinitamente a C 0 , ha uno dei suoi punti doppi che tende 

 in ogni caso ad 0, e gli altri due che tendono a due dei tre punti A, , A s , A 3 ; 

 mentre una curva di che si approssimi a C 0 , ha i suoi tre nodi che 

 tendono sempre rispettivamente ad. A, , A 2 , A 3 . 



Nel primo caso, due punti di diramazione della superficie di Riemann, 

 imagine della curva variabile, tendono ad uno, p. es. A, , dei punti A, , A,, A 3 , 



(') Ved. la prefazione del citato lavoro di Albanese. 



