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Per esempio, due sistemi irriducibili di curve irriducibili dello stesso 

 ordine, non possono avere alcuna curva comune, che non abbia qualche 

 nuovo punto multiplo (o, in particolare, sia spezzata). 



Fra le molteplici applicazioni del teorema fondamentale di questo lavoro, 

 mi limito ad indicarne alcune fra le più significative. Nel n. 4 intanto 

 estendo il teorema fondamentale alle varietà superiori; nel n. 6 applico 

 quest'estensione a dimostrare che ogni curva algebrica sghemba (irriduci- 

 bile e priva di punti multipli) individua una famiglia (completa) di curve 

 sghembe, e nel n. 5 applico il teorema fondamentale a stabilir la condi- 

 zione affinchè una curva spezzata possa considerarsi come limite di una 

 curva irriducibile dello slesso ordine. Da questa condizione deduco alla 

 sua volta un teorema, che getta nuova luce sulle questioni di realità con- 

 cernenti i rami delle curve algebriche. 



Oltre ai sistemi irriducibili di curve, si possono considerare su P sistemi 

 irriducibili aventi per elementi sistemi lineari ; ed anche per essi può porsi 

 senz'altro la nozione di completezza. Si presenta allora il fatto, a prima 

 giunta paradossale, che un sistema irriducibile completo di curve può non 

 esser completo come totalità dei suoi sistemi lineari. 



Così p. es., nel caso prima considerato della superfìcie F delle coppie 

 di punti di due curve A , A', il sistema 2 l -{-2 2 , insieme di 2 X e di 2 t < 

 è connesso, riducibile, non ulteriormente ampliabile e completamente definito 

 da una qualunque curva di -2, o di 2 2 . 



Ma nonostante la riducibilità di 2 l -\~2 2 , i sistemi lineari individuati 

 dalle curve di 2^ e di 2 2 costituiscono un'unica totalità irriducibile, che 

 è birazionalmente identica all' insieme delle coppie di punti delle varietà di 

 Jacobi, inerenti ad A , A'. 



La spiegazione del paradosso è semplice, giacché, essendo le curve 

 di 2i , per definizione, spezzate in n-\-n' parti, nel sistema lineare, indi- 

 viduato da una qualunque di esse, in quanto curva totale di 2 X , i nri nodi 

 si debbono assegnare come punti, necessariamente fissi, di moltiplicità 2; 

 mentre, quando si presentano nodi nelle curve di 2 2 , essi debbono considerarsi 

 come inesistenti. Riguardando virtualmente inesistenti anche i nodi di una 

 generica curva r di 2 X , essa non definisce più il sistema 2i , ma bensì 

 un sistema continuo completo oo°. Cosicché la totalità irriducibile dei sistemi 

 lineari \r\, ove r sia una curva qualunque di ^ o di 2 2 , la quale voglia 

 in ogni caso considerarsi virtualmente priva di punti multipli, è costituita 

 da oo w+1t ' sistemi continui completi distinti di curve. 



Tuttavia, anche per i sistemi completi irriducibili di sistemi lineari, 

 ciascuno dei quali si consideri virtualmente privo di punti base, vale, sotto 

 certe ipotesi, un teorema analogo a quello di Noether, nel senso che è pos- 

 sibile individuare un tal sistema a partire da uno qualunque de' suoi sistemi 

 lineari. Io ho già provato questo fatto fin dal 1906, sotto l' ipotesi che )a 



