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Ogni curva piana C?, d'ordine m, con ó nodi e X contatti con K, la 

 quale appartenga, insieme con Ci , ad un medesimo sistema continuo S x di 

 curve analoghe, è imagine d'una curva C° di P, appartenente, insieme con C, 

 ad un medesimo sistema continuo S di curve d'ordine m, tracciate su F. 

 Ciò deriva dall'osservare che la curva D°, d'ordine mn, corrispondente su 

 P a Ci, deve essere spezzata in una curva d'ordine m,G°, ed in una di 

 ordine m(n — 1), perchè altrimenti, facendo tendere C? e Ci entro S x , nel 

 passaggio al limite, la curva D* si spezzerebbe senza acquistare nuovi punti 

 doppi. 



Mentre C° descrive S t , la curva C° descrive pertanto su P un sistema 

 continuo S, cui appartiene C. 



Premesso questo, si consideri su P un sistema irriducibile completo 2, 

 di curve d'ordine m , contenente C . A 2 corrisponderà in a un sistema 

 irriducibile 2 X , di curve d'ordine m , con S punti doppi e A-tangenti a K ; 

 e, per quanto precede, anche 2 X sarà completo. Alla serie caratteristica, 

 staccata sulla generica C di 2, corrisponde la serie caratteristica staccata 

 sopra la generica Ci di ^i , fuori dei ò nodi e dei X punti di contatto 

 con K, dalle curve di 2 X infinitamente vicine a C^ Ora questa serie coin- 

 cide con quella segnata su Ci , fuori delle suddette intersezioni, dalle aggiunte 

 d'ordine m, che passano pei X punti di contatto con K; e ciò perchè le 

 curve di questo sistema lineare H, che sono infinitamente vicine a Ci, 

 hanno in conseguenza ó nodi e X contatti con K e quindi appartengono 

 a 2 l che è l'unico sistema continuo di curve analoghe contenente la 

 generica Ci . 



Ricordando infine che le aggiunte di un ordine arbitrario staccano sopra 

 una data curva piana una serie lineare completa, si conclude col teorema 

 di Enriques. 



2. Unicità del sistema continuo completo individuato da ona 

 curva irriducibile, priva di punti multipli. — Partiamo di nuovo da 

 una prefissata curva Ci , dotata di à nodi e di X contatti con K , che sia 

 proiezione di una curva C di P irriducibile e priva di punti multipli, alla 

 quale ora non prescriviamo di esser generica entro un dato sistema continuo 

 completo che la contenga totalmente. 



Il più ampio sistema continuo connesso T, irriducibile o no, indivi- 

 duato su P da C, e le cui parti son costituite da curve irriducibili, di 

 ordine m e genere 7r, prive di piloti multipli, ha per imagine su a il più 

 ampio sistema connesso T, , contenente Ci , costituito da curve d'ordine ni 

 con d nodi e X tangenti a K. Siccome la Ci , da cui siamo partiti, è irri- 

 ducibile e dotata di S (e non di ó -J- 1) nodi, sta anche per essa la concìu- 



(*) Vi è qui una lievissima semplificazione rispetto al ragionamento originario, sem- 

 plificazione che meglio si presta agli ulteriori sviluppi. 



