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Fissare entro Ti un ramo R, uscente da Ci , significa considerare un 

 sistema oo l di curve di Tu tale che i coefficienti dell'equazione d'una curva 

 variabile in quel sistema sono funzioni olomorfe d'un parametro t, le quali 

 per un valore conveniente di t , per es. / = 0 , si riducono ai coefficienti 

 dell'equazione di Ci . Sia 



(1) A*.y;0 = o 



(x , y coordinate cartesiane) l'equazione della curva variabile nel sistema 

 considerato. Similmente, 



(2) tp(a> ,y;t) = 0 



sia l'equazione della curva variabile in un altro ramo R 2 di Ti , uscente 

 da Gì ; e supponiamo che 



(3) , y) = (f(x , y ; 0) = f{x , y ; 0) = 0 



sia l'equazione di C, . 



Fissare una legge di variabilità di due « punti « Ci , C 2 sui due rami 

 Ri,R 2 , significa scegliere un ramo F entro la varietà analitica oo* (*) for- 

 mata dalle coppie di punti di Ri , R 2 , e considerare le oo 1 coppie C 2 costi- 

 tuenti gli elementi di F. Se poi si vuole che Ci , C 2 tendano insieme a Ci, 

 occorre che il ramo r contenga una coppia formata da due punti coincidenti 

 con Ci . Siccome ad ogni elemento di r corrisponde un punto di Ri ed un 

 punto di R 2 , i parametri t , t di due punti variabili con quella legge in 

 Ri,R 2 , saranno funzioni olomorfe del parametro e che individua l'elemento 

 variabile in r, e le due funzioni dovranno annullarsi entrambe per quel 

 valore di * che dà la coppia dei punti coincidenti con Ci . Se questo valore 

 di s è s = 0, scriveremo dunque 



(4) t = éd{e) , T = s)rj(e) i 



ove le 6,7] sono funzioni olomorfe di e, non -annullantisi per s — 0. 



Poiché i sistemi (1), (2) debbono assumersi completamente ad arbitrio 

 — e non soltanto generici — fra quelli che, entro Ti , contengono Ci , 

 occorrerà supporre che d sia un elemento s-plo (s>. 1) per (1) ( 2 ) e c-plo 



(') Questa varietà oo a è una « falda » della varietà algebrica costituita dalle coppie 

 di punti di due curve algebriche tracciate su Ti e contenenti rispettivamente i rami Rì,Rì. 



(*) Cioè che fra le curve del sistema (1) passanti per un generico punto P del 

 piano a, s vengano a coincidere con C t , quando P vada in un punto generico di &, 

 e precisamente in un punto esterno al gruppo caratteristico di C t (ved. più sotto). Si 

 badi che s non eguaglia di necessità l'ordine v del ramo R, nello spazio S„. Profittando 

 ì h f òf d h c 



dell'identità — = 2 — , ove le c sono i coefficienti delle x ,y in f(x,y;tì, si 



