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(o">.l) per (2), per guisa che lungo Ci siano soddisfatte le relazioni (even- 

 tualmente identiche) : 



©=« pi» . (m---(^)-. 



ma non le 



m . m .-• 



Sviluppando le /(a? , y ; 0 , <j>{x ,y\i), colla formola di Taylor-Cauchy, 

 negli intorni rispettivi di t = 0,t = 0, avremo pertanto: 



(5) f{x , y ; /) = ^ (a; , y) + J (^g), + • • • 



(6) y(*ry;4^«V'(^rM + fj(^H — * 



ove «, a sono polinomi degli ordini s — 1 , e — 1 in t , r, i quali assumono 

 il valore 1, rispettivamente per £ = 0,t = 0. 



L'equazione della curva inviluppo di (1), della quale fanno parte, oltre 

 ad una eventuale curva cui non c' interessa di por mente, il luogo dei c? 

 punti doppi variabili di una curva C, ( 1 ) e la curva K, si ottiene elimi- 

 nando t fra le: 



cioè fra le: 



vede subito che f eguaglia l'ordine della prima derivata ^^Ty non identicamente nulla, 



sicché è sempre v^.s. L'ordine v eguaglia inoltre il numero di quelle curve comuni 

 ad (1) e ad un sistema lineai e I,co N— *, di curve d'ordine m, le quali vanno a coinci- 

 dere con Ci, quando I tende ad un generico sistema <x N— 1 contenente C,; mentre s è 

 il numero an ilogo, allorché I tende al sistema delle oo N— 1 curve d'ordine m passanti 

 per un punto generico di C t . Nello spazio S N si ha un inviluppo di oo* iperpiani, rap- 

 presentanti ciascuno le curve d'ordine m passanti per un punto del piano a. Il carat- 

 tere s uguaglia o supera v, secondo che il predetto inviluppo non tocca o tocca il ramo Ri 

 nell'origine Ct. Tutto ciò, con opportuni adattamenti, vale pure se Ri non è un ramo 

 di funzione algebrica e se le curve f(x ,y;t) — 0 non sono algebriche. Quoste proprietà, 

 che paiono assai utili per uno studio approfondito degli inviluppi, sono irrilevanti pel 

 nostro scopo attuale. 



( l ) Ved. ad es. le mie Lezioni di geometria algebrica (Padova, Draghi, 1908), 

 pag. 25. 



Rendiconti. 1916, Voi. XXV, 1° Sem. 



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