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Ne deriva che quando Ci va in C, — cioè quando t s'annulla — il gruppo 

 caratteristico di Ci — gruppo comune a Ci e alla curva di (1) che le è 

 infinitamente prossima — va a cadere nell'intersezione di Ci colla curva, 



da essa distinta, f^j) =0- 1° altre parole, quest'ultima curva, che è 



d'ordine m, come Ci, appartiene al sistema lineare H. Similmente si vede 



che ad H appartiene pure la curva d'ordine m (^— ^) =0. 



Consideriamo ora il fascio Q> di curve d'ordine m, individuato dalle 

 Ci , C 2 variabili entro (1), (2) colla legge (4). Si tratterà di provare che 

 il limite cP 0 di <P, per e — O, appartiene al sistema H, qualunque sia la 

 prescelta legge di variabilità. All' uopo, fissata una costante generica k (in 

 che cosa debba consistere la genericità di k risulterà dal seguito) si con- 

 sideri la curva D di equazione f{x , y -; t) - (- k(f{x , y ; t) = 0 , generica 

 entro al fascio <P ; ed il fascio *P di curve d'ordine m, individuato dalla 

 curva fissa Ci e dalla D, variabile con e. Al fascio *P appartiene in parti- 

 colare la curva D: 



f(x,y;t)-\- k(f{x , y; v) — {à + ha) ip(x , y) = 0 . 



Indicato con l il minimo fra gli ordini infinitesimali di t* , rispetto ad e, 

 e posto: 



1 t S j 1 r T« . 



— rlim — — b , — lim — = §, 

 sì E=0 e 1 <r! e=0 £° 



ove b , fi sono costanti, di cui una almeno non nulla, mediante gli sviluppi 

 (5), (6) si ricava subito che il limite D 0 della D per e = 0. è la curva: 



— j s \ = o , [t^j = 0 



son distinte da Ci ed appartengano ad H, anche D 0 sarà essa pure distinta 

 da Ci ed apparterrà ad H . 



Il fascio limite *P 0 di «P, essendo individuato dalle Ci ,D 0 , è formato 

 pertanto da curve di H e perciò la curva D, comune ai fasci variabili *P,<P, 

 ha pur essa per limite una curva del sistema H. Ma D è la curva gene- 

 rica di <Z>: dunque il fascio <I> 0 , limite di <Z>, sta in H. 



Resta così dimostrato che, nello spazio S N , la retta limite di Ci C 2 è 

 una tangente a Ti in Ci , e quindi che T, passa per Ci con una sola falda, 

 avente in C t un punto semplice. 



