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Possiamo in definitiva enunciare: 



Sopra una superficie F , una curva C , irriducibile e priva di 

 punti multipli, sta in un sol sistema algebrico, irriducibile e completo, 

 di curve dello stesso ordine. 



Naturalmente il sistema continuo individuato da C potrà anche essere oo°; 

 ciò accadrà allora e solo allora che su C non esista la serie caratteristica, 

 definita nel modo indicato al n. 1 della mia Nota del 1904 sui sistemi 

 continui. 



Dal ragionamento precedente risulta pure che : 



La serie caratteristica di un sistema irriducibile completo 2, di 

 curve irriducibili, prive di punti multipli, è completa, non soltanto sulla 

 generica curva del sistema, ma anche su ogni sua particolare curva C , 

 la quale non abbia acquistato punti multipli. 



Di più, la C è origine di una sola « falda » del sistema, e si può 

 sempre assumere come modello proiettivo di 2 una tal varietà, che C 

 abbia su essa per imagine un punto semplice. 



3. Il teorema fondamentale per dna curva qualunque. — 

 Il teorema stabilito può agevolmente estendersi al caso in cui la curva C, 

 irriducibile, tracciata su F , abbia punti multipli, che si assegnino tutti, 

 colle loro molteplicità effettive, come punti base per il costruendo sistema 

 continuo. 



Basta invero, per ridursi al caso precedente, operare una trasformazione 

 birazionale della F , che sciolga i punti base fissati in curve eccezionali, 

 ed astrarre dalle componenti fisse che nascono in tal modo nel sistema 

 trasformato. 



È quasi superfluo di avvertire che se, ad esempio, su C era assegnato 

 un sol punto base doppio P, cui corrisponda, sulla superficie trasformata F', 

 la curva eccezionale P', può benissimo accadere che il sistema irriducibile 

 completo 2', individuato dalla curva C, omologa di C, e le cui curve ta- 

 gliano P' in 2 punti, sia contenuto (parzialmente) in un sistema continuo 

 più ampio 2" di curve, di ordine maggiore di C, rispetto al quale la P' 

 sia fondamentale. Il fatto che — contrariamente a quel che avviene per i 

 sistemi lineari — 2" possa dar come residui, rispetto a P', più sistemi irri- 

 ducibili distinti, non reca alcuna noia, perchè sta sempre che due di questi 

 sistemi non possono avere in comune alcuna curva totale. 



Suppongasi piuttosto che la curva C, ancora irriducibile, abbia punti 

 multipli — per semplicità diciamo d punti doppi — i quali si assegnino 

 tutti come variabili, colle loro molteplicità effettive. Vogliamo allora pro- 

 vare che, se esiste un sistema irriducibile completo, almeno oo 1 , senza punti 

 base, il quale contenga C, e sia costituito da curve dello stesso ordine, con 

 d punti doppi variabili, questo sistema è unico. 



