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La curva C avrà per imagine, sul solito piano «-pio a, una curva d, 

 d'ordine m, la quale possiede à punti doppi, dei quali d, ben determinati, 

 che diremo punti doppi effettivi, hanno i due rami sopra una stessa falda 

 del piano multiplo, cioè son tali che uno degli n punti corrispondenti su F 

 ad un punto di a, mobile lungo un ramo uscente da uno dei suddetti d 

 nodi, ha un limite indipendente dal ramo sul quale ci si muove. Gli altri 

 ó - d punti doppi di Ci , che chiameremo punti doppi apparenti, hanno 

 invece i due rami su falde distinte e provengono appunto da punti doppi 

 apparenti di C . 



Ebbene, anche in tal caso si considererà su a il sistema completo con- 

 nesso Tj , almeno oo 1 . contenente Ci e costituito dalle curve d'ordine m, 

 che hanno à punti doppi e X contatti con K, e si concluderà, come prima, 

 che questo sistema ha in Cj un elemento semplice. Tutte le curve, appartenenti 

 insieme con & ad un medesimo sistema irriducibile 2 1 , tolto da Ti , avranno, 

 al pari di Ci , d punti doppi effettivi. Infatti, se la generica curva C del 

 sistema 2, corrispondente su F al sistema 2 X di a, avesse soltanto d'<C_d 

 punti doppi, il genere effettivo della C si abbasserebbe di d — d' unità 

 nel passaggio da C a C mentre invece le proiezioni di C e di C 

 hanno lo stesso numero S di punti doppi e perciò lo stesso genere. 



Si conclude pertanto nel modo già enunciato. 



Supponiamo adesso che C sia riducibile e dotata di d punti doppi, 

 che potranno essere nodi delle singole componenti o punti comuni alle com- 

 ponenti a due a due; e inoltre supponiamo che esista un sistema irriducibile 

 completo 2, il quale contenga C e infinite altre curve dello stesso ordine, 

 dotate di d punti doppi variabili. 



Le componenti irriducibili C',C",..... della curva C, al variare di C 

 in 2, descrivono dei sistemi continui, anche o>°, ed eventualmente non tutti 

 distinti. Indichiamo con 2' , 2" , ... questi sistemi, completati se occorre. 

 Se la G' ha ó' punti doppi variabili, il sistema 2\ per quanto precede, è 

 perfettamente individuato, per il fatto di dover contenere C con i suoi- <f' 

 nodi variabili ; e così dicasi di 2", ecc. Laonde il sistema 2, che è com- 

 pleto, si ottiene come l' insieme di tutti i gruppi di curve tolte rispettiva- 

 mente da 2' , 2" , ... , ed è quindi pienamente individuato. 



Sia finalmente C una curva, irriducibile o no, sulla quale si assegnino: 



a) alcuni punti base con molteplicità virtuali uguali alle effettive; 



b) alcuni altri punti base (ipermultipli) con molteplicità virtuali 

 minori delle effettive (s' intende che in questa categoria sono compresi anche 



(') Si vede subito, e del resto è ben noto, cbe ogni nuovo punto doppio che una 

 curva C, variabile sopra una superficie F, venga ad acquistare (in un punto semplice 

 di F), è un punto doppio proprio (ved., per la distinzione in propri ed impropri dei punti 

 di una curva variabile in una famiglia, la mia Nota lincea sulla classificazione delle 

 curve, che avrò occasione di citare più tardi). 



