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Matematica. — Analisi metrica delle quasi-asintotiche sulle 

 superfìcie degli iperspazi. Nota di E, Bompiani, presentata dal 

 Corrispondente G. Castelnuovo. 



1. Sopra una superficie dello spazio ordinario si definisce linea asin- 

 totica quella che ha in ogni suo punto per piano osculatore il piano ivi 

 tangente alla superficie: sicché per definizione l'asintotica e la sezione pro- 

 dotta dal piano tangente hanno questo per piano osculatore. Tuttavia non 

 si osculano. Il Beltrami ha precisato il comportamento delle due curve nel 

 punto comune dimostrando che il rapporto fra i loro raggi di prima cur- 

 vatura ivi vale (quando si prendano nell'ordine scritto) 2/3. 



La seconda curvatura (torsione) dell'asintotica in un punto è uguale, 

 per un teorema d' Ennepei, in valore assoluto, alla radice quadrata della 

 curvatura totale della superficie presa con segno contrario. 



Questi due teoremi forniscono le curvature di un'asintotica. 



2. Sopra una superficie (a due dimensioni V 2 ) di un iperspazio S„ (n^>'ò) 

 non esistono in generale asintotiche. Si possono invece definire curve (quasi- 

 asintotiche) con la proprietà che lo S„_i osculatore ad una di esse sia tan- 

 gente alla superficie nel punto d'osculazione Una quasi-asintotica è indi- 

 viduata quando se ne dia un elemento d'ordine n — 3, E„_ 3 (un punto, la 

 tangente, ... , lo S„_ 3 osculatore) ; mentre, se si fissa uno S„_! tangente 

 in un punto alla superficie, esistono due quasi-asintotiche uscenti dal punto 

 •che lo osculano. 



Ciò risulta del resto immediatamente dalla loro equazione differenziale. 



3. Indichiamo con x , y , s y , ... , £„_ 2 un sistema di coordinate carte- 

 siane ortogonali di S„; e poniamo sulla superficie 



Si = Si(x , yj, ... , *„_i> = z n ..i(x , y) . 



Assumiamo, sulla curva che si studia, la x come variabile indipendente; 

 bisogna perciò determinare y come funzione di x . 

 Scriviamo inoltre 



Dx h V ' l { ' - ' } ' V dx h ' 



L'equazione differenziale delle quasi-asintotiche è 



( l ) Vedansi le mie Note: Sopra alcune estensioni dei teoremi di Meusnier e di 

 Eulero [Atti R. Accad. Scienze di Torino, voi. XLVIII (1912-13)], nn 6, 7; Alcune 

 proprietà proiettivo-differenziali dei sistemi di rette negli iperspazi [Rend. Circ. matem. 

 •di Palermo, tomo XXXVII (1914)]; Sullo spazio d'immersione di superficie possedenti 

 ■dati sistemi di curve [Rend. R. Istituto Lombardo, ser. II, voi. XLVII (1914)]. 



