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5. Il problema di Nedmann nel campo S\ — Si tratta di deter- 

 minare una funzione 



W = W(P') 



dei punti P' di S f , regolare ed armonica e tale che sulla superficie e' la 



sua derivata normale assuma valori prefissati —^-^ - . 



un 



Cominciamo dal costruire una funzione W 0 (P) armonica e regolare 

 in S , e tale che, in un generico punto Q di e, la sua derivata normale 



dW(ù') 



assuma il valore che — —, — dove avere nel corrispondente punto Q' di e'; 

 sia cioè 



dW 0 (Q) dW(Q') 



(19) 



dn dn' 



Siccome si immagina di saper risolvere il problema di Neumann nel 

 campo S , si avrà, applicando alla W 0 la formola (4) (a meno di una ines- 

 senziale costante additiva), 



(20) W((P) = 3 Lj^ r(P , Q) ^. 



Determinata, a meno di una inessenziale costante additiva, la funzione W 0 , 

 ia tal guisa, si costruisca ima seconda funzione W^P) regolare e armonica 

 in S e tale che sopra u la sua derivata normale assuma i valori seguenti: 



(2.) «=-vx gra * w„<Q) + („ x v) w + ,mm. 



Applicando, ancora, la formola (4) alla funzione Wj , si avrà 



dWAQ) 



dove, si intende portata al posto di — , la sua precedente espres- 

 sione (21). 



Consideriamo ora la funzione 



(23) W(P) = W 0 (P)— W,(P). 



Per quanto si è precedentemente detto, essa è aimonica e regolare in S; 

 e nei punti Q di e la sua derivata normale assume i valori 



m sm . asm + v x emi wm _ (n x v) ffija » _ . • 



