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Ammettiamo che la funzione W(P), definita in S, sia prolungabile anche 

 in S' (ciò avviene sicuramente se S' appartiene ad S). 



Vediamo, in tale ipotesi, quali valori va ad assumere la derivata nor- 

 male della funzione W nei punti Q r di a' . 



Applicando alla funzione W la formula (18) avremo 



ft^-t&M grad W(Q) + (n x v) T + e ™ ■ 



Si noti che, come risulta dalla (23), tenuto conto delle (20), (21), (22) 

 e della (8), la funzione W è differenza di una parte finita — W 0 — e di 

 una parte di primo ordine — Wi — ; perciò dalle (25) e (24), a meno di 

 quantità di ordine superiore, si ha 



d W(Q') _ rfW.(Q) 



dri dn ' 



che è la (19). 



Dunque la funzione W, definita dalla (23) e considerata nello spazio S', 

 risolve il problema di Neumann in questo campo. 



6. Il problema di Dirichlet e il problema di Neumann in uno 

 sferoide. — Sia la superficie e una sfera di raggio E e di centro 0. 



In tal caso l'equazione (1) di a diviene" 



(26) /(Q) = (Q_O) 2 -R 2 = 0; 



e sopra a stessa è 



grad/=2(Q — 0) , jgrad / 1 = 2R . 



Se si considera p. es. il problema interno, il vettore n dev'essere rivolto 

 sempre verso l'interno di <r, per cui, applicando la (6), si ba 



Essendo poi 



(28) ^ = - grad / X n = — -| (Q - O) 2 = - 2R , 



l'equazione (5) di a' {sferoide) diviene 



(29) (Q'_0) 2 + 2K« — R 2 = 0. 

 La (8) diviene, nel caso attuale, 



v = — grad s 



