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valga, con soli adattamenti del linguaggio, per le superficie e per le varietà 

 superiori. 



Consideriamo sulla V, priva di punti multipli in uno spazio S r , una 

 superficie irriducibile e priva di punti multipli F , la quale sia atta a defi- 

 nire un sistema continuo almeno oo 1 . 



Il sistema |E| staccato su V dalle forme di S r , d'ordine l non minore 

 dell'ordine m di F, contiene parzialmente ogni superficie d'ordine m trac- 

 ciata su V; e, crescendo, se occorre, /, si può esiger pure che |B| segni 

 su F un sistema lineare completo ( 1 ). Aggiungeremo, per quanto non sia 

 strettamente necessario pel seguito, che il sistema ] D \ , residuo di F rispetto 

 ad |E|, ed il sistema |C|. segato da |D| su F. possono inoltre supporsi 

 irriducibili e privi di punti base ; cosicché la generica superficie D e la ge- 

 nerica curva C sono irriducibili e prive di punti multipli. 



Le superficie E. passanti per C, costituiscono un sistema lineare H, oo", 

 e tagliano altrove su F il sistema caratteristico completo. Quelle, E 0 , tra 

 esse, che sono infinitamente vicine alla superficie composta F-f-D, hanno 

 una linea doppia infinitamente vicina a C, e sono quindi spezzate in una 

 parte infinitamente vicina ad F ed in una infinitamente vicina a D (tutto 

 ciò si deduce dalle proprietà analoghe delle curve di una superficie, segando 

 con un iperpiano). 



Consideriamo ora il più ampio sistema algebrico connesso M. conte- 

 nente F; e indichiamo con T il sistema connesso costituito dalle superficie E 

 spezzate ciascuna in una superficie di M ed in una superficie dell'ordine 

 di D. A quest'ultimo sistema appartengono intanto le superficie E 0 ; e vi- 

 ceversa ogni E di T, infinitamente vicina ad F-f-D, avendo una linea 

 doppia infinitamente vicina a C, passa per C ed è quindi una E 0 . Nello 

 « spazio » lineare i cui « punti » son le superficie E , la varietà « tangente » 

 a T, nel puuto F-J-D, è dunque costituita dai punti E passanti per C. 

 Si conclude intanto che nell' intorno di F-f-D la varietà T ha la dimen- 

 sione a e che in F -j- D essa possiede, per varietà tangente, lo « spazio » 

 lineare H. 

 Sieno 



(8) f{x x , ed , ... , x r ; t) = 0 , (9) , x 2 , ... , x r ; *) = 0 



(#i , Xì , ... , x r coordinate di punto in S r ; t , x parametri) le equazioni di 

 due superficie rispettivamente variabili in due « rami » appartenenti a T , 

 e uscenti da F-f-D . 



È lecito di rappresentare in tal modo i due rami, perchè ogni super- 

 ficie di T, essendo intersezione completa di V con una forma, può appunto 



(') È questo un noto teorema di Ca6telnuovo. Il teorema analogo, occorrente per le 

 varietà superiori, trovasi nel n. 2 della mia Memoria: Fondamenti per la geometria sulle 

 varietà algebriche (Rendiconti di Palermo, 1909). 



