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sizione seguente, della quale, in quel lavoro preliminare, mi son limitato 

 a indicare a grandi tratti la dimostrazione, fermandomi sopratutto su alcuni 

 casi particolari, che mi interessavano fra l'altro per la dimostrazione geo- 

 metrica del teorema d'esistenza: 



La condizione necessaria e sufficiente affinchè una curva piana spez- 

 zata C, d'ordine m, possa considerarsi come limite d'una curva irridu- 

 cibile d'ordine m e genere n, è che sia possibile scegliere alcuni nodi di C, 

 in tal numero ed in tal posizione che, considerandoli come inesistenti, si 

 ottenga da C una curva connessa di genere virtuale n . 



Qui mostrerò come questa proposizione segua, in modo molto semplice, 

 dal teorema fondamentale del presente lavoro. 



Sieno Ci , C 2 C* le componenti irriducibili di C ; e supponiamo, per 



semplicità, che la curva complessiva sia dotata di soli nodi, in numero di ó , 

 provenienti in parte dai nodi delle componenti ed in parte dalle intersezioni 

 di queste a due a due. Diciamo m h , n h l'ordine ed il genere effettivo di 

 ó h il numero de' suoi nodi che si assegnan come nodi di C ; 4 invece il 

 numero dei nodi di C/ t che si considerano per C come inesistenti; e infine j 

 il numero delle intersezioni delle componenti, che si consideran pure come 

 nodi inesistenti (punti di connessione) di C . Denoteremo con J il gruppo 

 complessivo di queste j intersezioni. 



Si hanno intanto le relazioni 



m = 2m h , n = 2n h + 2i h -f j — A -4- 1 , , ó = 2ó h -{- 2m h m k -f- 2i h , 



ove n è il genere virtuale di C coi ó — j — 2i h nodi assegnati. 



Un facile calcolo mostra che la dimensione q del sistema lineare delle 

 curve di ordine m passanti pei nodi assegnati di C [cioè (nn. 2 e 3) la 

 dimensione del sistema irriducibile completo 2 individuato da C con quei 

 tali gruppi di nodi variabili e di nodi inesistenti] soddisfa alla disuguaglianza 



(11) e>3m + 7r — 1, 



dove vale il segno = o > , secondo che le condizioni imposte alle suddette 

 curve d'ordine m sono o no indipendenti. 



Dico che la curva generica di 2 è irriducibile. Siccome la cosa è vera 

 per l = 1 , basterà, ammessala vera pel sistema continuo individuato da una 

 curva connessa, composta da / — 1 parti, dimostrarla pel sistema 2. Si os- 

 servi perciò, in primo luogo, che è sempre possibile trovare / — 1 , e sieno 

 e, , C 2 , ... , Ci_i , componenti di C , tali che, considerando come inesistenti 



quei nodi di r = C [ -}-C i -j — — f— 0; a che son compresi fra i 2i h -\-j 



nodi di C, già fissati come inesistenti, si ottenga una curva connessa. Si 

 parta infatti da Ci : esisterà allora qualche componente di C, e sia C 2 , con- 

 nessa con Ci attraverso ad una almeno delle intersezioni J. Similmente dovrà 



