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esistere qualcuna delle ulteriori componenti C, e sia C 3 , connessa con Ci-f-C 2 

 attraverso ad una almeno delle restanti intersezioni J; e così proseguendo. 

 (Si noti che con ciò resta pur provato che j > l — 1). 



Ciò posto, il sistema 2', individuato da f, ha la curva generica irri- 

 ducibile, ed al sistema 2 appartiene il sistema S delle curve ottenute ag- 

 giungendo ad una generica curva di 2' una generica curva del sistema 2'\ 

 individuato da Ci coi suoi ii nodi inesistenti. Sicché, se la curva generica 

 di 2 è riducibile, essa non può che spezzarsi in una curva dell'ordine di r 

 ed in una dell'ordine di Ci', e mentre la curva generica descrive 2, che è 

 completo, le sue componenti descrivono rispettivamente i sistemi completi 

 2' , 2" . Laonde il sistema 2 coincide addirittura con S e, dette g' , q" le 

 dimensioni di 2' , 2" , si ha pertanto 



(12) ? = <?' + <?"• 



Ora la curva r coi suoi X *V+ j — / nodi inesistenti, ove / (/ > 



>/ > 1) è il numero delle intersezioni J comuni a C( e a f, ha il 

 genere 



/— ì i-i 



n' = Z n h + Z ih +/ — / — l + 2 = n — n l — Ù — f + 1 > 



h=l h-i 



e quindi il genere effettivo della generica f di 2' non supera n' (lo eguaglia 

 solo se, come risulterà a posteriori, ogni nodo virtualmente inesistente di r 

 è effettivamente inesistente per f). 

 Si ha perciò (') 



q' < 3 (m — mì) -\- ti — 7r 2 — ii — / ; 



e similmente, poiché la curva generica di 2" ha il genere virtuale ttj -}- U > 

 viene 



q" <. 3 mi -f- k — 1 



e quindi 



{?' + <>" <3m + 7r — 1— /, 



la quale, confrontata con la (11), ricordando che / > 1, porge q^>q'-\-q", 

 contrariamente alla (12). 



(') Qui si applica la proposizione che una curva piana irriducibile d'ordine n e 

 genere effettivo p, appartiene ad un sistema irriducibile di curve analoghe, di dimen- 

 sione 3n-\-p — 1 (cfr. ad es. col n. 2 della mia Nota del maggio 1915). La cosa segue 

 subito, del resto, dalla completezza della serie caratteristica del sistema. 



