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È dunque assurdo ammettere che la curva generica di 2 sia spezzata. 

 Risulta inoltre che la curva generica di 2 ha proprio il genere effettivo n 

 e non H <^n , che cioè essa possiede esattamente tanti nodi (e non di più) 

 quanti son quelli che si assegnarono come variabili su C per definire il si- 

 stema 2, perchè in caso contrario la dimensione di 2 risulterebbe eguale 

 a Sm -\-H — 1, contrariamente alla (11). 



La sufficienza della condizione enunciata resta così stabilita. Quanto 

 alla necessità, è una conseguenza ovvia dell'osservazione che una curva con- 

 nessa non può aver come limite una curva sconnessa. 



Si noterà di più che nella (11) deve valere il segno =, e quindi che 

 i punti doppii assegnati di C impongono condizioni indipendenti alle ag- 

 giunte d'ordine m , d'accordo con un noto teorema di Noether 



Osservazione. — Se la curva C è reale, cioè se ha un'equazione a coeffi- 

 cienti reali, i suoi nodi imaginarì sono a due a due complessi coniugati ; e, 

 qualora i nodi che si assegnano su essa si scelgano appunto reali o a due 

 a due complessi-coniugati, le curve d'ordine m aggiunte a C risultan tutte 

 reali. Sicché il sistema 2 <x>? , definito in corrispondenza a quella scelta dei 

 nodi variabili, avendo nel « punto » C uno « spazio tangente » S p reale, 

 passerà per C almeno con una » falda » reale ooP. Si badi però che la C 

 potrà anche essere un « punto multiplo » per 2, in quanto può darsi che 

 da C sia possibile ottenere qualche altra curva di 2, cambiando il gruppo 

 dei nodi di C assegnati come variabili. Comunque sia,- si può dire che: 



Se una curva reale C di ordine m, spezzata in più parti, si può 

 render connessa e di genere virtuale n , fissando la connessione attraverso 

 a certi suoi nodi reali o a due a due complessi coniugati, esistono 

 oo 3m+17 - 2 curve reali irriducibili d'ordine m e genere n\ ad essa infini- 

 tamente vicine, ciascuna delle quali ha un punto doppio infinitamente pros- 

 simo ad ognuno di quei nodi di C che non si scelsero come punti di 

 connessione. 



Questo teorema offre un larghissimo campo di' applicazione nelle que- 

 stioni di realità delle curve algebriche piane, e dà una base generale al 

 metodo così detto della « piccola variazione ». Così possono da esso otte- 

 nersi come facili corollari il teorema di Harnack e molti dei bei risultati 

 di Hilbert sui rami reali delle curve algebriche. 



Spero di poter in seguito occuparmi di questo genere di applicazioni. 



6. Applicazione del teorema fondamentale alla teoria delle 



curve algebriche sghembe. cenni di ulteriori sviluppi. sia v 



una famiglia di curve algebriche sghembe C , di ordine n , genere p , prive 

 di punti multipli ( 2 ). 



(') Ueber die reductiblen algebraischen Curven (Acta math. 8, 1886), pag. 172. 

 (') Ved. ad es. il n. I della mia Nota citata, Sulla classi fi catione delle curve aU 

 gebriche, ecc. 



