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La forinola di postulazione, che esprime il numero delle condizioni li- 

 neari indipendenti offerte alle superficie d'ordine l abbastanza grande, im- 

 ponendo loro di passar doppiamente per una data C , è del tipo k 0 l -\- k x , 

 ove /Co , k\ sono numeri caratteristici di C . Se la C considerata, pur essendo 

 particolare entro V, non ha punti multipli, k 9 , k x dipendono soltanto da n 

 e da p e quindi la dimensione r del sistema lineare S delle superficie F 

 d'ordine l, che passano doppiamente per una curva C variabile in V, non 

 s'altera finché C non acquista qualche nuovo punto multiplo. 



Inoltre, sempre nell'ipotesi che l sia abbastanza grande, una F gene- 

 rica, passante doppiamente per C, è irriducibile, e fuori di C non ha punti 

 multipli. Ciò risulta subito dall'osservare che le superficie d'ordine V , ab- 

 bastanza alto, passanti semplicemente per C, formano un sistema lineare 

 di dimensione > 1 , che non ha punti base fuori di C : sicché il sistema 

 lineare doppio di questo risulta formato da superficie irriducibili d'ordine 

 1 = 21', passanti doppiamente per G e non aventi punti base fuori di C. 



Premesso questo, consideriamo il sistema irriducibile completo ^ 0 indi- 

 viduato (n. 4) da una F, generica passante doppiamente per una data C 0 

 di V, priva di punti multipli, e definito dalla condizione che la superficie F, 

 mobile in 2 0 , abbia una linea doppia variabile d'ordine n, la quale si ri- 

 duca a C e quando F va in F 0 . Al variare di F in 2 9 , la sua linea doppia 

 descrive una varietà irriducibile, che abbraccia tutta la famiglia V; e, 

 poiché V è completa, si può affermare che le linee doppie delle superficie 

 di 2 0s s<m tutte e sole le curve di V, e quindi che ^ 0 può descriversi tutto 

 facendo variare una C di V e insieme il sistema lineare completo S , indi- 

 viduato da quella C . Non si esclude con ciò che, per qualche particolare 

 posizione di C entro V, il sistema delle superficie d'ordine / , aventi la linea 

 doppia C, si amplii; ma ciò accadrà soltanto allorquando la C acquisti punti 

 multipli o, in particolare, si spezzi ( 2 ). 



Se pertanto la C 0 , da cui partimmo, appartenesse ad un'altra famiglia V 

 di curve C, prive di punti multipli, di ordine n e genere p, il sistema 

 lineare S', ancora di dimensione r , costituito dalle superficie d'ordine / pas- 

 santi doppiamente por la C variabile in V, descriverebbe un sistema al- 

 gebrico irriducibile 2', non contenuto in 2, e contenente invece tutto il 

 sistema lineare S , di dimensione r , definito da C 0 • Sicché la F, apparter- 



[ l ) Si trova infatti agevolmente che la forinola di postulazione di C per le super- 

 ficie d'ordine alto l, che la debbono contenere come doppia, è %nl — 4n — 5/5 -f- 5. Del 

 resto questa formola può ricavarsi anche dalla Memoria di Noether, Sulle curve multiple 

 di superficie algebriche [Annali di matematica, (2), tomo V, 1871]. 



(") Avvertiamo, poiché ne capita l'occasione, che l'ampliamento del sistema S in 

 corrispondenza ad una particolare C, , dotata di punti multipli, può avvenire senza che 

 il sistema stesso esorbiti da 2 a '■ allora però la posizione limite del sistema S inerente 

 ad una generica C , tendente a Ci , non è indipendente dal modo come si passa al limite. 



