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sono sistemi per cui il limite superiore è raggiunto ('). Si indichi ora con 

 (B) un altro sistema completo — si sottintende irriducibile — formato 

 da oo3 sistemi lineari distinti. Fissato in (Ai un generico sistema lineare |A 0 |, 

 i sistemi |A 0 -j-B| riempiono un medesimo sistema irriducibile ^=(A 0 -f~B), 

 che contiene co? sistemi lineari "distinti e che è quindi, esso pure, completo. 



Variando |A„| in (A), poiché 2 non potrebbe che variare con conti- 

 nuità e d'altra parte ciò non è possibile, a cagione della sua completezza, 

 si conclude che 2 contiene tutti i sistemi lineari | A -f- B | . Esso può per- 

 tanto chiamarsi la somma dei sistemi (A) e (B) . e indicarsi col simbolo 

 (A + B). 



Si osservi che per questo ragionamento è essenziale i' ipotesi che uno 

 almeno dei sistemi (A) , (B) consti di co? sistemi lineari, altrimenti non 

 potrebbe affermarsi che 2 è completo. 



Premesso ciò, si consideri in (A) un altro generico sistema | A, | , ed un 

 generico sistema |B, | in (B). Esisterà in (B), per quanto precede, un ben 

 determinato sistema | B t | tale che 



|B, + A 0 | = |B 1 + A 1 | : 



ossia il sistema | B„ -{- A 0 — Ai | sarà effettivo e coinciderà con un sistema 

 di (B). Poniamo (C) = (A + B) e | C,| = | A, + B,| : allora |C 0 | contiene 

 parzialmente ogni | A | ; ed i residui degli | A | rispetto a | C 0 1 formano un in- 

 sieme 2 Q , contenuto in (B) , i cui elementi corrispondono birazionalmente 

 agli |A|. 



Se pertanto q' = q , 2 0 abbraccia tutto (B) , e si ha il noto risultato 

 che (A) e (B) sono birazionalmente ideatici fra loro ed alla varietà di 

 Picard Y q , relativa ad F (*). 



Se invece q'<Cq, la totalità co? dei |C|, al pari di quella dei |B|, 

 sarà ancora birazionalmente identica a Y q , mentre (A) sarà identica ad una 

 varietà contenuta in (C) o in (B), cioè in Y q . Dico che, comunque, (A) è 

 esso stesso identico ad una varietà di Picard W q r, di dimensione q' . 



All' uopo si consideri l' insieme r degli co?' sistemi | C | somme dei sin- 

 goli | A | con un medesimo | B 0 1 . Non può evidentemente esistere un insieme 

 continuo più ampio di sistemi |C|, contenenti tutti parzialmente |B 0 |, e 

 abbracciale T, perchè se no (A) non sarebbe completo. Si avverta inciden- 

 talmente che non rimane per questo escluso che i residui dei j C | conte- 

 nenti | B 0 1 , si distribuiscano in più totalità distinte di sistemi lineari (cfr. 

 col numero successivo) : se così fosse, noi, fra quei | C | , ci limiteremmo a 

 considerar soltanto quelli che dànno per residui gli |A|. 



(') Vegsjasi ad es. là mia Nota, Uno sguardo d'insieme alla geometria sopra una 

 superficie algebrica (Atti del R. Ist. Veneto, tomo 68, 1909). 



( 2 ) Cfr. Castelnuovo, Sugli integrali semplici appartenenti ad una superficie irre- 

 golare. [Questi Rendiconti, (5), tomo 14, 1905, nn. 2-6]. 



Rendiconti. 1916, Voi. XXV, 1* Sem. 73 



